Introducción a las Curvas - Dominio de Curvas

En esta ocasión entenderemos matemáticamente una curva.

Tenemos los vectores:

\[\vec{a}_{1}=(1,2)\]

\[\vec{a}_{2}=(2,5)\]

\[\vec{a}_{3}=(3,10)\]

Vamos a ver cómo se ven gráficamente:

No parecen tener mucha relación entre sí, ¿verdad? Sigan con nosotros un poco más. Vamos a poner una bolita azul al final de cada flecha para que se vea bien dónde termina cada una:

Si pensamos solo en estas bolas azules, esto puede verse, por ejemplo, como la posición de algún objeto y cómo varía en el tiempo.

Si tomamos más vectores que apuntan a las posiciones por las que ha pasado este objeto, tendremos algo más o menos así.

Muy bien, ahora vamos a sacar las flechas y concentrarnos en los puntos azules:

Observen que esto se parece al camino que siguió el objeto. Si tomamos una gran cantidad de puntos, podemos ver bien esta ruta.

Noten que cada punto tiene un vector. Podemos tener en cada una de ellas funciones que dependen del tiempo, por ejemplo.

\[\sigma(t)=\left(t, t^{2}\right)\]

Escribir una curva matemáticamente es encontrar esta función que nos da los vectores que indican la posición de un objeto.

Sería algo así

\[\sigma(t)=(x(t), y(t))\]

Si estuviéramos en \(3D\) sería igual, pero agregaríamos la variable  \(z(t)\) también

\[\sigma(t)=(x(t), y(t), z(t))\]

Vamos a entender un poco mejor: esta función \(\sigma (t)\) representa la curva, pero tiene un nombre especial: Parametrización de la Curva.

Y las funciones \(x(t), y\space (t)\) y \(z(t)\) son las ecuaciones paramétricas de la curva. ¡A menudo nos referimos a ellos como los componentes de la parametrización!

Nota: Este parámetro puede ser cualquier cosa, \(t, \theta, \alpha\) no importa. En cada caso, puede tener un significado y una lógica, pero todo es parametrización de una curva porque tenemos UN solo parámetro. Es decir, inicialmente teníamos más de un parámetro, pero al parametrizar, todo pasa a depender de sólo UN parámetro.

Intervalo de la Parametrización de la Curva

Si nos dan la siguiente curva:

\[\sigma(t)=\left(t, t^{2}\right)\]

Esto no va a ser suficiente, también necesitamos que nos digan cómo funciona \(t\).

En este caso, nuestra t puede variar de cualquier manera, no habrá problema numérico en ninguno de ellos. Pero establecer este intervalo directo te dice exactamente cómo se ve esa curva. Presten atención:

Volvamos a la función de arriba

\[\sigma(t)=\left(\sqrt{t}, t^{2}\right)\]

¿Aquí \(t\) puede tener cualquier valor? Pareciera que no, porque hay una raíz, y no existe la raíz de un número negativo. Por lo tanto, hay que definir el intervalo donde tenga sentido la raíz. Entonces:

\[\sigma(t)=\left(\sqrt{t}, t^{2}\right), \quad t \in[2,4]\]

En la pregunta de la prueba, puede pedirte el intervalo \(I\), generalmente en esta situación se llama Dominio. 

El dominio no es nada más que el intervalo en que las funciones de los componentes están definidas. No hay denominador que sea cero en toda esta cuestión, ni raíces cuadradas negativas, ni logaritmos negativos, ¿entendieron? Vamos a ver un ejemplo:

\[\sigma(t)=\left(\sqrt{t-1}, \frac{1}{t-4}\right)\]

Para el primer componente necesitamos tener

\[t-1 \geq 0 \rightarrow t \geq 1\]

Y para la segunda 

\[t-4 \neq 0 \rightarrow t \neq 4\]

En este caso, ¿cuál es el dominio de \(\sigma(t)\)? Debemos obedecer a los dos, entonces será:

\[t \geq 1, \quad y, \quad t \neq 4\]

Eso seria todo, ¿vamos a los ejercicios?