Gráfico de Curvas

Ecuación cartesiana

Imaginemos que queremos dibujar el gráfico de la curva:

\[\sigma(t)=\left(3+t^{2}, 1+2 t^{4}\right), \quad t \in[0,+\infty)\]

¿Y entonces? ¿Qué hacemos? Bueno, lo primero que hay que hacer es encontrar la ecuación cartesiana de la curva.

Una ecuación cartesiana de una curva es lo que ya conocemos y venimos trabajando. Es una ecuación que depende de \(x\) e \(y\).

Es lo contrario de lo que estamos haciendo hasta ahora, cuando queremos parametrizar una curva. En este caso, tendríamos una curva parametrizada y nos gustaría saber su ecuación cartesiana.

Tenemos lo siguiente:

\[x(t)=3+t^{2}\]

\[y(t)=1+2 t^{4}\]

\[t \in[0,+\infty)\]

Despejamos \(t^{2}\) en la primera ecuación:

\[t^{2}=x-3\]

Y sustituimos en la otra ecuación:

\[y=1+2\left(t^{2}\right)^{2}=1+2(x-3)^{2}\]

Por lo tanto, tenemos que esa curva es una parábola.

Ecuación cartesiana: funciones trigonométricas

Imaginemos que un problema nos pide graficar la siguiente curva:

\[\sigma(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t)\]

\[t \in \mathbb{R}\]

El punto clave aquí es cómo encontrar la ecuación cartesiana. Básicamente, analizaremos cada componente de la curva e intentaremos relacionarlos.

Pensemos juntos: en nuestra curva tenemos seno y coseno. ¿Qué podemos hacer con eso? ¿Qué puede decirnos esto sobre la curva?

¿Recuerdan la relación fundamental de trigonometría? ¿No? No hay problema, veámosla de nuevo:

\[\cos ^{2} t+\operatorname{sen}^{2} t=1\]

Así que parece que ella nos puede ayudar, ¿no? ¡Sí, realmente nos puede ayudar! Tengan en cuenta que para cualquier t, tenemos que:

\[x^{2}(t)+y^{2}(t)=\cos ^{2} t+\operatorname{sen}^{2} t=1\]

Es decir, los puntos \((x, y)\) siempre están sobre un círculo de radio 1. Y la coordenada \(z\), a su vez, crece indefinidamente. Entonces el dibujo de la curva se verá así:

¿Qué curva es esta? Es una curva helicoidal cilíndrica. También tengan en cuenta que \(z^{\prime}(t)=1>0\), por lo que la curva está "subiendo" a lo largo del eje \(z\).

Algunas variaciones

Observación 1: Del mismo modo, los puntos \((x, y)\) podrían estar sobre una elipse, en lugar de estar sobre una circunferencia. Por ejemplo:

\[\sigma(t)=(2 \cos t, \operatorname{sen} t, t)\]

Vamos a hacer lo siguiente:

\[\left\{\begin{aligned} x(t) &=2 \cos t \Rightarrow \cos t=\frac{x(t)}{2} \\ y(t) &=\operatorname{sen} t \Rightarrow \operatorname{sen} t=y(t) \end{aligned}\right.\]

\[\cos ^{2} t+\operatorname{sen}^{2} t=1\]

\[\Rightarrow\left(\frac{x(t)}{2}\right)^{2}+(y(t))^{2}=1\]

\[\Rightarrow\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+y^{2}=1\]

O sea, los puntos están sobre esta elipse. ¿Se entiende?

Observación 2: Veamos qué hacer cuando \(z(t)\) sea cualquier función de \(t\). Por ejemplo:

\[\sigma(t)=\left(\cos t, \operatorname{sen} t, e^{t}\right)\]

En este caso, la única diferencia es que el eje \(z\) crece más rápido porque es exponencial.

Observación 3:

\[\sigma(t)=(t \cos t, t \operatorname{sen} t, t)\]

\[t \in \mathbb{R}\]

Tengan en cuenta que \(x(t)^{2}+y(t)^{2}=z(t)^{2}\) para todo \(t\). Es decir, la curva estará en la superficie del cono \(z^{2}=x^{2}+y^{2}\). Su dibujo es:

Esa es una curva helicoidal cónica.

En resumen

Si el problema te pide graficar una curva, será alguna de estas dos.

     \(\bullet\) \(\text {Si }a x(t)^{2}+b y(t)^{2}= \text {constante - curva helicoidal cilíndrica}\)

     \(\bullet\) \(\text {Si }a x(t)^{2}+b y(t)^{2}=z(t)^{2} ; a, b= \text {constantes - curva helicoidal cónica }\)

Recuerden estas dos curvas. ¡Ellas pueden aparecer en la prueba! Y si es necesario, sabrán cómo dibujarlas. Pero no se preocupen, no tienen que ser demasiado perfeccionistas. Solo mira el punto de inicio de la curva, el sentido en el que va a medida que \(t\) aumenta y el intervalo en el que \(t\) está contenido. El gráfico será una aproximación.

Un último consejo

¡El problema es que a veces vamos a tener que dibujar curvas difíciles de identificar!

En este caso, la forma es hacer lo básico: reemplazar varios valores de \(t\) en la parametrización y, así, encontrar los puntos de la curva.

Ejemplo: Dibujemos la curva parametrizada por \(\sigma(t)=(2 \cos t, \operatorname{sen} 2 t), t \in[0, \pi\)).

¡Es muy difícil identificar de inmediato qué curva es esta! Hay un coseno y un seno, está bien, pero ¿y qué? Es precisamente en este caso que comenzamos el trabajo manual de reemplazar varios puntos y vemos qué sucede.

¡Entonces hagámoslo! Es mejor tener tantos valores como sea posible para obtener más puntos.

\[t=0 \rightarrow \sigma(0)=(2,0)\]

\[t=\frac{\pi}{6} \rightarrow \sigma\left(\frac{\pi}{6}\right)=\left(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

\[t=\frac{\pi}{4} \rightarrow \sigma\left(\frac{\pi}{4}\right)=(\sqrt{2}, 1)\]

\[t=\frac{\pi}{3} \rightarrow \sigma\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

\[t=\frac{\pi}{2} \rightarrow \sigma\left(\frac{\pi}{2}\right)=(0,0)\]

De \(\frac{\pi}{2}\) hasta \(\pi\) podemos ver que tendremos los mismos valores, pero con signo contrario:

\[t=\frac{2 \pi}{3} \rightarrow \sigma\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(-1,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

\[t=\frac{3 \pi}{4} \rightarrow \sigma\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=(-\sqrt{2},-1)\]

\[t=\frac{5 \pi}{6} \rightarrow \sigma\left(\frac{5 \pi}{6}\right)=\left(-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

\[t=\pi \rightarrow \sigma(\pi)=(-2,0)\]

Listo! Veamos cómo se ven estos hermosos puntos:

Ahora, puedes tener una buena idea de cómo se ve la curva, ¿verdad?

Solo ahí cerca del origen \(\left(t=\frac{\pi}{2}\right)\) no hay muchos puntos ... Entonces podrías ver con más calma cómo están 2 \(\cos t\) y \(\operatorname{sen} 2 t\) cerca de \(t=\frac{\pi}{2}\). ¡En caso de que tengan duda, hagan una línea recta!

Miren cómo se ve la curva:

Y si la pregunta pide indicar la orientación, ¡simplemente pon una flecha hacia la izquierda! ¿No? Pasamos de \(t=0\), que corresponde al punto \((2,0)\) en la derecha, a \(t=\pi\), en el punto \((-2,0)\).

Entonces el gráfico se vería así:

¿Genial? Entonces, ¡Vamos a practicar con los ejercicios!