Curvas Paramétricas de Intersección de Superficies

Intersección de Superficies

Cuando dos curvas se intersectan, tenemos un punto (o más), ¿verdad? Ahora, cuando dos superficies se intersectan, tenemos una curva.

Si hacemos una analogía, podemos pensarlo de la siguiente manera:

     \(\bullet\) Intersección de curvas (\(1^{era}\) dimensión) son puntos (\(0\) dimensiones)

     \(\bullet\) Intersección de superficies (\(2^{da}\) dimensión) son curvas (\(1^{era}\) dimensión)

Así que veamos un ejemplo de cómo encontrar esta curva de intersección. Consideren el siguiente problema:

Encuentren una parametrización de la curva formada por la intersección de las siguientes superficies:

\[x+y+z=1\]

\[y-z=2\]

Vamos a seguir el paso a paso:

     \(1.\) Primero identificamos las ecuaciones de las dos superficies:

\[\left\{\begin{array}{c}{x+y+z=1} \\ {y-z=2}\end{array}\right.\]

     \(2.\) Despejamos una variable de una de las ecuaciones. Ten en cuenta que las dos superficies son dos planos. De la segunda ecuación:

\[\Rightarrow z=y-2\]

     \(3.\) Sustituimos esta variable en la otra ecuación. Y tendremos que:

\[x+y+(y-2)=1\]

\[\Rightarrow x=3-2 y\]

Nota: ten en cuenta que esta es la proyección de la curva en el plano \(z=0\), porque la curva de intersección de las dos superficies está en el espacio, pero encontramos una ecuación con solo dos variables, ya que despejamos \(z\) en la primera ecuación y después la reemplazamos en la segunda.

Lo mismo sucede cuando despejamos \(x\) y \(y\): tenemos la proyección de la curva en el plano \(x=0\) y \(y=0\), respectivamente, porque nuestra curva queda solo en función de las otras dos variables.

     \(4.\) Y ahora ha llegado el momento de la parametrización. Podemos elegir la parametrización natural de \(y\).

\[y(t)=t\]

Entonces:

\[x(t)=3-2 t\]

     \(5.\) Finalmente, reemplazamos estas parametrizaciones en la tercera variable que se despejó.

\[\Rightarrow z(t)=t-2\]

Luego, la curva \(\sigma(t)\) que resulta de la intersección de los dos planos se puede expresar de la siguiente manera:

\[\Rightarrow \sigma(t)=(x(t), y(t), z(t))=(3-2 t, t, t-2), t \in \mathbb{R}\]

¿Ven cómo es? Tengan en cuenta que encontramos una parametrización de una recta, que es exactamente lo que debería ser la intersección de dos planos.

Bueno, ¿entienden el espíritu de la cuestión? En general, los procedimientos son los siguientes:

     \(1.\) Identificar las ecuaciones de las dos superficies.

     \(2.\) Despejar una variable de una de las ecuaciones.

     \(3.\) Sustituir esta variable en la otra ecuación.

     \(4.\) Parametrizar la proyección de la curva con las otras dos variables.

     \(5.\) Reemplazar las parametrizaciones en la tercera variable que despejaron.

     \(6.\) Encontrar la parametrización de la curva 

Nota: cuando una de las ecuaciones sea un plano, realice el paso 2 despejando una variable mediante la ecuación del plano.

¡Manos a la obra!