Vector Velocidad y Vector Tangente

Derivada de una función vectorial

¿Cómo se deriva un vector? ¡Es fácil! Simplemente hay que derivar cada coordenada. Veamos este simple ejemplo:

\[\sigma(t)=\left(t+1, t^{2}, e^{2 t}\right)\]

Vamos a derivar las coordenadas una por una:

\[\sigma^{\prime}(t)=\left(1,2 t, 2 e^{2 t}\right)\]

Listo, esta es la derivada del vector que usamos de ejemplo. Si nos piden la segunda derivada, simplemente derivamos de nuevo:

\[\sigma^{\prime \prime}(t)=\left(0,2,4 e^{2 t}\right)\]

Y así sucesivamente para las próximas derivadas.

Así que en general, sería así

\[\sigma(t)=(x(t), y(t), z(t))\]

\[\sigma^{\prime}(t)=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right)\]

\[\sigma^{\prime \prime}(t)=\left(x^{\prime \prime}(t), y^{\prime \prime}(t), z^{\prime \prime}(t)\right)\]

Y así sucesivamente

Vector velocidad

Si la trayectoria de una partícula está dada por la curva \(C\) parametrizada por

\[\sigma(t)=\left(t^{2}, \operatorname{sen} t, \cos t\right), t \in \mathbb{R}\]

Que es una función que da la posición de la partícula en cualquier instante de tiempo \(t\), cuando derivamos este vector de posición, ¿qué creen que encontremos? El vector de velocidad de partícula. 

Entonces:

\[\vec{v}(t)=\sigma^{\prime}(t)=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right)\]

En nuestro ejemplo:

\[\vec{v}(t)=\sigma^{\prime}(t)=(2 t, \cos t,-\operatorname{sen} t)\]

Si queremos saber la velocidad escalar de la partícula, es decir, la magnitud de la velocidad, lo que tenemos que hacer es calcular el módulo del vector de velocidad. Entonces:

\[\|\vec{v}\|=v=\sqrt{x^{\prime}(t)^{2}+y^{\prime}(t)^{2}+z^{\prime}(t)^{2}}\]

\[\|\vec{v}\|=v=\sqrt{(2 t)^{2}+(\cos t)^{2}+(-\operatorname{sen} t)^{2}}=\sqrt{4 t^{2}+1}\]

Nota: Cuando estamos hablando de vector de velocidad, el parámetro t representa S-I-E-M-P-R-E al tiempo. Por lo tanto, este vector tiene la misma dirección de movimiento de partículas.

En algunos casos, el vector de posición se puede parametrizar en función de un ángulo, como la circunferencia o elipse. En esos casos tenemos que colocar el parámetro de ángulo \(\theta\) en función del parámetro de tiempo \(t\).

Y para hacer eso, necesitamos recordar algunos conceptos. Pero vamos:

     \(\bullet\) Movimiento Circular Uniforme: esto es cuando un cuerpo se mueve en una trayectoria circular a velocidad constante. En ese caso:

\[\theta=\theta_{0}+\dot{\theta} t\]

     \(\bullet\) Movimiento Circular Uniformemente Variado: esto es cuando un cuerpo se mueve en una trayectoria circular, pero su velocidad varía a una aceleración constante. En ese caso:

\[\theta=\theta_{0}+\dot{\theta}_{0} t+\frac{1}{2} \ddot{\theta} t^{2}\]

Siendo \(\theta\) la posición angular del cuerpo, \(\theta_{0}\) la posición angular inicial, \(\dot{\theta}\) la velocidad angular del cuerpo, \(\dot{\theta}_{0}\) la velocidad angular inicial y \(\ddot{\theta}\) la aceleración angular.

Nota: Si el problema es plano, es decir, \(\sigma(t)=(x(t), y(t))\), simplemente ignoraremos el término \(z(t)\) en las derivadas y en la velocidad escalar.

Reglas de derivación

Sean \(\sigma_{1}(t)\) y \(\sigma_{2}(t)\) funciones derivadas de \(t\), \(C\) un vector constante, \(c\) cualquier escalar, y \(f(t)\) una función escalar derivable, entonces:

     \(A.\) \(\frac{d C}{d t}=0\) (Derivada del vector constante) 

     \(B.\) \(\frac{d}{d t}\left[c \sigma_{1}(t)\right]=c \sigma_{1}^{\prime}(t)\) (Multiplicación por un escalar)

     \(C.\) \(\frac{d}{d t}\left[\sigma_{1}(t) \pm \sigma_{2}(t)\right]=\sigma_{1}^{\prime}(t) \pm \sigma_{2}^{\prime}(t)\) (Derivada de la suma/resta)

     \(D.\) \(\frac{d}{d t}\left[f(t) \sigma_{1}(t)\right]=f(t) \sigma_{1}^{\prime}(t)+f^{\prime}(t) \sigma_{1}(t)\) (Regla del producto) 

     \(E.\) \(\frac{d}{d t}\left[\sigma_{1}(t) \bullet \sigma_{2}(t)\right]=\sigma_{1}^{\prime}(t) \bullet \sigma_{2}(t)+\sigma_{1}(t) \bullet \sigma_{2}^{\prime}(t)\) (Regla del producto) 

     \(F.\) \(\frac{d}{d t}\left[\sigma_{1}(t) \times \sigma_{2}(t)\right]=\sigma_{1}^{\prime}(t) \times \sigma_{2}(t)+\sigma_{1}(t) \times \sigma_{2}^{\prime}(t)\) (Regla del producto) 

     \(G.\) \(\frac{d}{d t}\left[\sigma_{1}(f(t))\right]=\sigma_{1}^{\prime}(f(t)) f^{\prime}(t)\) (Regla de la cadena) 

Si observan detenidamente, es lo mismo que las propiedades que ya han aprendido para las funciones de una variable, pero un poco adaptadas porque ahora estamos hablando de vectores.

Vector tangente

El vector tangente es un vector que tiene la misma dirección de movimiento. Se encuentra derivando el vector de posición.

\[\overrightarrow{V_{t g}}=\sigma^{\prime}(t)\]

Por ejemplo:

\[\sigma(t)=\left(2+3 t^{2}, 1+\operatorname{sen}\left(2 t^{3}\right)\right)\]

\[\overrightarrow{V_{t g}}=\sigma^{\prime}(t)=\left(6 t, 6 t^{2} \cos \left(2 t^{3}\right)\right)\]

Si el parámetro \(t\) representa el tiempo, \(\overrightarrow{V_{t g}}\) representa el vector de velocidad de la partícula.

Por lo tanto, la velocidad (y cualquier otra derivada) es un vector tangente al desplazamiento de la partícula, es decir, siempre apunta en la misma dirección que el movimiento de la partícula a medida que aumenta el parámetro \(t\).

Podemos encontrar el vector director unitario (llamado versor) del movimiento, es decir, la dirección del vector tangente (y, por tanto, la velocidad) dividiendo este vector por su módulo, por lo tanto:

\[\vec{T}=\frac{\overrightarrow{V_{t g}}}{\|\overrightarrow{V_{t g}}\|}=\frac{\sigma^{\prime}(t)}{\left\|\sigma^{\prime}(t)\right\|}\]

Volviendo al ejemplo:

\[\|\overrightarrow{V_{t g}}\|=\sqrt{(6 t)^{2}+\left(6 t^{2} \cos 2 t^{3}\right)^{2}}=\sqrt{36 t^{2}\left(1+t^{2} \cos ^{2} 2 t^{3}\right)}=6 t \sqrt{1+t^{2} \cos ^{2} 2 t^{3}}\]

\[\vec{U}=\frac{\overrightarrow{V_{t g}}}{\|\overrightarrow{V_{t g}}\|}=\frac{\left(6 t, 6 t^{2} \cos \left(2 t^{3}\right)\right)}{6 t \sqrt{1+t^{2} \cos ^{2} 2 t^{3}}}=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^{2} \cos ^{2} 2 t^{3}}}, \frac{t \cos 2 t^{3}}{\sqrt{1+t^{2} \cos ^{2} 2 t^{3}}}\right)\]

El vector \(\vec{U}\) expresa la dirección del movimiento. Por lo tanto, podemos expresar la velocidad de una partícula en movimiento como el producto entre el módulo de su velocidad (velocidad escalar) y su dirección:

\[\text {Velocidad}=\|\vec{v}\| \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}\]

¿Vamos a los ejercicios?