Vector Aceleración

¿Qué es?

Cuando hablamos de vector de velocidad, dijimos que la velocidad es la tasa de variación del vector posición en relación al tiempo, ¿recuerdan?

Pero entonces, si la velocidad es la tasa de variación del vector  posición, ¡entonces la tasa de variación del vector velocidad será la aceleración!

Es decir, el vector de aceleración es la velocidad a la que el vector de velocidad varía con el tiempo. Tiene sentido ¿verdad?

¡Genial! Ahora que entienden el concepto de aceleración, les mostraremos cómo calcularlo.

¿Cómo calcularlo?

Bueno,  más o menos ya les dije cómo calcular el vector de aceleración, ¿verdad?

¡Es eso! Sólo hay que derivar el vector velocidad del tiempo. O derivar dos veces el vector posición con respecto al tiempo.

\[\vec{a}(t)=\vec{v}^{\prime}(t)=\sigma^{\prime \prime}(t)\]

El vector de aceleración se puede descomponer en dos componentes: uno tangencial en la dirección del vector tangente unitario \(\vec{T}(t)\) y uno normal en la dirección del vector normal \(\vec{T}^{\prime}(t)\).

Tengan en cuenta que este vector normal no necesariamente tiene que ser unitario.

Por lo tanto, si \(v(t)=\|\vec{v}(t)\|\):

¿Parece complicado, no? Veamos un ejemplo para que lo entiendan mejor:

Sea la curva \(C\) parametrizada por:

\[x(t)=\cos t+t \operatorname{sen} t\]

\[y(t)=\operatorname{sen} t-t \cos t\]

\[t \geq 0\]

Calculamos

\[\vec{v}(t)=(t \cos t, t \operatorname{sen} t)\]

\[\vec{a}(t)=\vec{v}^{\prime}(t)=(-t \operatorname{sen} t+\cos t, t \cos t+\operatorname{sen} t)\]

\[v(t)=\|\vec{v}(t)\|=\sqrt{(t \cos t)^{2}+(t \operatorname{sen} t)^{2}}=t\]

El componente tangencial de la aceleración está dado por:

\[v^{\prime}(t)=1\]

El componente de aceleración normal está dado por:

\[v(t)=t\]

El vector de aceleración es, por lo tanto:

\[\vec{a}(t)=1 \cdot \vec{T}(t)+t \cdot \vec{T}^{\prime}(t)\]

Observen que el vector de aceleración obtenido al derivar el vector de velocidad a primera vista parece diferente del vector de aceleración obtenido al descomponerlo en componentes normales y tangenciales:

\[\vec{a}(t)=\vec{v}^{\prime}(t)=(-t \operatorname{sen} t+\cos t, t \cos t+\operatorname{sen} t)\]

\[\vec{a}(t)=1 \cdot \vec{T}(t)+t \cdot \vec{T}^{\prime}(t)\]

¡No se asusten!

Ambas formas representan el mismo vector aceleración, solo que de distinta manera.

Para que vean que no estoy mintiendo, les mostraremos que los módulos de estas dos formas del vector de aceleración son los mismos, así tenemos una buena pista de que es el mismo vector:

\[\vec{a}(t)=\vec{v}^{\prime}(t)=(-t \operatorname{sen} t+\cos t, t \cos t+\operatorname{sen} t)\]

\[\|\vec{a}\|=\sqrt{(-t \operatorname{sen} t+\cos t)^{2}+(t \cos t+\operatorname{sen} t)^{2}}=\sqrt{t^{2}+1}\]

Y

\[\vec{a}(t)=1 \cdot \vec{T}(t)+t \cdot \vec{T}^{\prime}(t)\]

\[\|\vec{a}\|=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{1+t^{2}}\]

Por último, presten atención a esto:

Derivar el vector de velocidad NO necesariamente resulta en los componentes normales y tangenciales de la aceleración. Lo vieron en el ejemplo que hicimos, ¿verdad? Los dos vectores parecía que ni siquiera eran el mismo vector. Para encontrar los componentes, ¡tenemos que usar la fórmula!

¿Quedamos así? No se vayan equivocar en eso, ¡eh!

¡Genial! ¡Vamos a los ejercicios!