Longitud de Arco

¿Cómo se calcula?

Imaginemos que tenemos una curva \(\sigma(t)=(x(t), y(t), z(t))\). Queremos saber qué tan largo es uno de sus arcos, es decir, qué tan larga es una parte de dicha curva. 

¿Cómo lo hacemos?

Es super sencillo. Para calcular la longitud de un arco \(\sigma(t)\), desde el punto \(\sigma\left(t_{1}\right)\) al punto \(\sigma\left(t_{2}\right)\), simplemente usaremos la siguiente fórmula:

\[L=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left\|\sigma^{\prime}(t)\right\| d t\]

Donde

\[\left\|\sigma^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}}\]

Ahora, para hacerlo aún más fácil, les damos este paso a paso, que sabemos que les gusta:

     \(1.\) Encontrar \(t_{1}\) y \(t_{2}\).

     \(2.\) Calcular \(\sigma^{\prime}(t)\).

     \(3.\) Calcular \(\left\|\sigma^{\prime}(t)\right\|\).

     \(4.\) Reemplazar en \(L\). 

Ejemplo:

Calcular la longitud de la siguiente curva:

\[\sigma(t)=(2 \cos t, 2 \operatorname{sen} t)\]

\[0 \leq t<2 \pi\]

     \(1.\) Encontrar \(t_{1}\) y \(t_{2}\)

Queremos calcular la longitud de la curva desde el punto \(\sigma(0)\) al punto \(\sigma(2 \pi)\):

\[\left\{\begin{aligned} t_{1} &=0 \\ t_{2} &=2 \pi \end{aligned}\right.\]

     \(2.\) Calcular \(\sigma^{\prime}(t)\)

\[\sigma^{\prime}(t)=(-2 \operatorname{sen} t, 2 \cos t)\]

     \(3.\) Calcular \(\left\|\sigma^{\prime}(t)\right\|\)

\[\left\|\sigma^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{(-2 \operatorname{sen} t)^{2}+(2 \cos t)^{2}}=2\]

     \(4.\) Reemplazar en \(L\)

\[L=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left\|\sigma^{\prime}(t)\right\| d t=\int_{0}^{2 \pi} 2 d t=2 \int_{0}^{2 \pi} d t=4 \pi\]

¿Le resulta familiar este resultado? Puede que hayan notado que la curva \(\sigma(t)\) es un círculo de radio \(r=2\), ¿verdad? Así que miren que genial: encontramos el resultado de la longitud del círculo. ¡Esto demuestra que la fórmula realmente funciona!

¡Manos a la obra, vamos a los ejercicios!