Producto Escalar

¿Cómo se calcula?

Vamos a enseñarles a calcular el producto escalar entre los vectores \(\vec{v}\) y \(\vec{u}\). ¿Están listos?

Por suerte este tema es el más sencillo de todos.

Hagámoslo:

Si tenemos dos vectores \(\vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}\right)\) y \(\vec{u}=\left(u_{1}, u_{2}\right)\) no nulos, el producto escalar entre ellos viene dado por:

\[\vec{v} \cdot \vec{u}=\left(v_{1} u_{1}+v_{2} u_{2}\right)\]

Nosotros leemos \(v\) escalar \(u\) y ese producto es un NÚMERO. Eso mismo, es un escalar

Miren lo fácil que es:

\[\vec{v}=(1,2)\]

\[\vec{u}=(3,4)\]

\[\vec{v} \cdot \vec{u}=(1.3+2.4)=11\]

Básicamente multiplicamos el componente \(x\) de un vector con el del otro, lo mismo con el componente \(y\), y luego los sumamos.

Existe una forma alternativa de calcular el producto escalar y nos ayuda a determinar el ángulo entre dos vectores.

Ángulo entre vectores

El producto escalar también se puede calcular como:

\[\vec{v} \cdot \vec{u}=\|\vec{v}\|\|\vec{u}\| \cos \theta\]

Siendo \(\|\vec{v}\|_{y}\|\vec{u}\|\) el módulo de estos dos vectores y \(\cos \theta\) es el coseno del ángulo entre los dos vectores.

Entonces, si les piden averiguar el ángulo entre los dos vectores, simplemente hagan lo siguiente:

\[\cos \theta=\frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{\|\vec{v}\|\|\vec{u}\|}, \quad 0 \leq \theta \leq \pi\]

Fácil, ¿no?

Presta atención:

Si dos vectores son perpendiculares, entonces el producto escalar entre ellos es nulo.

Es fácil ver esto observando esta segunda forma de calcular el producto escalar: si dos vectores son perpendiculares, \(\theta=\frac{\pi}{2}\) y \(\cos \frac{\pi}{2}=0\), entonces el producto escalar también será cero. Fácil ¿no?

Así que si les pedimos un vector perpendicular a \(\vec{v}=(2,1)\), harán lo siguiente:

 \[(x, y) \cdot (2,1)=0\]

\[2 x+y=0\]

Es decir, un vector perpendicular a \(\vec{v}\) es un vector \(\vec{u}=(x, y)\) que satisface esta ecuación. Puede ser el vector \(\vec{u}=(-1,2)\). O el vector \(\vec{u}=(1,-2)\).

Bien, ahora una última cosita más:

El producto escalar es conmutativo. Es decir, da lo mismo si haces \(\vec{v} \cdot \vec{u}\) o \(\vec{u} \cdot \vec{v}\). El resultado será el mismo. ¡Compruébalo!