Vector Velocidad y Aceleración Media

Ya trabajamos con las características vectoriales de la Posición y del Desplazamiento, veamos algunos detalles de los vectores Velocidad y Aceleración promedio.

Vector Velocidad Media

La velocidad media es la relación entre el cambio de posición y el tiempo en que se realiza ese movimiento. Siendo la posición una magnitud vectorial, la velocidad también lo es, y la definimos: 

\[v_m = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r_f} - \vec{r_i}}{t_f – t_i}\]

Si analizamos el movimiento del vaso en la mesa; identificamos las posiciones inicial \(\vec{r_i}=(6; 3) m=6 m \hat{i}+3 m \hat{j}\) y final \(\vec{r_f}=(1; 2) m =1 m \hat{i}+2 m \hat{j}\); y pensemos que el movimiento se dio en 2 segundos. Entonces:

\[v_m = \frac{\vec{r_f}-\vec{r_i}}{t_f - t_i}=\frac{(1; 2) m - (6; 5) m }{2 s}\]

\[v_m=\frac{(1-6; 2-5) m}{2 s}=\frac{(-5; -3)m}{2 s}\]

\[\Rightarrow v_m=(-5/2; -3/2) m/s\]

¡Muy bien! Llegamos a un resultado vectorial en 2D. Sabemos que esto mismo se puede extender a 3D, agregando una dimensión o una dirección más.

El movimiento que hicimos recién, se puede analizar de forma independiente en cada dirección: X e Y.

O sea, en dirección X:

\[v_x = \frac{x_f-x_i}{t_f - t_i}=\frac{1 m – 6 m }{2 s}\]

\[\Rightarrow v_x=-5/2  m/s\]

Y en dirección Y:

\[v_y = \frac{y_f - y_i}{t_f - t_i}=\frac{2 m - 5 m }{2 s}\]

\[\Rightarrow v_y= -3/2  m/s\]

Vemos que individualmente llegamos a una velocidad en cada dirección; podemos juntar esos resultados para escribir el vector:

\[\text{Si }v_x=-5/2 m/s \text{ y } v_y=-3/2 m/s\]

\[\rightarrow v_m=(-5/2; -3/2) m/s= (- 5/2 \hat{i} – 3/2 \hat{j}) m/s\]

El resultado es el mismo; podemos tomar cualquiera de los dos caminos para llegar a la Velocidad Media de un movimiento… ¡Elegí el que más te gusta y avanzá!

Vector Aceleración Media

La aceleración media nos dice qué tan rápido varía la velocidad. Como la velocidad es una magnitud vectorial, la aceleración también lo és. 

Con el vector Aceleración Media trabajamos de manera similar a lo anterior. 

Un camino posible es aplicar la definición y trabajar con los vectores \(\vec{v_i}\text{ y }\vec{v_f}\):

\[\vec{a_m}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{\vec{v_f}–\vec{v_i}}{t_f–t_i}\]

El otro camino es: calcular por separado la aceleración en cada dirección X, Y; y reunirlas en el vector \(\vec{a_m}\).

\[a_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t}=\frac{{v_x}_f – {v_x}_i}{t_f – t_i}\]

\[a_y=\frac{\Delta v_y}{\Delta t}=\frac{{v_y}_f – {v_y}_i}{t_f – t_i}\]

Nuevamente, el resultado se puede extender también al eje Z agregando una dimensión más, una dirección más. 

Y luego de tanta charla… ¡hagamos algún ejercicio para practicar un poco!