Ecuaciones de Movimiento en Notación Vectorial

Ya estuvimos trabajando con los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración separando el movimiento en dirección X (\(\hat{i}\)) del movimiento en Y (\(\hat{j}\)), y de Z (\(\hat{k}\)). 

Cuando pasó esto, ¿no te surgió una pregunta?

¿No hay una forma de escribir todo en una misma ecuación y no andar separando las cosas por eje?

Si revisas los problemas anteriores, planteamos un sistema de ecuaciones para la dirección X, otras en Y, otras en Z… Esto pudimos hacerlo así porque, como vimos, para cualquier móvil el movimiento en dirección X es independiente de la dirección Y y de Z.

¿Qué quiere decir esto?

Que el movimiento puede ser acelerado en un eje, con velocidad constante en otro y en reposo en el restante. Todos pueden ser diferentes, y se analizan de manera individual.

Además, las ecuaciones que me permiten estudiar el movimiento sobre eje X, son distintas que las de Y, y las de X.

En el estudio del movimiento, podemos tomar las cantidades vectoriales:

\[\vec{r}=(x; y; z)=x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}\]

\[\vec{v}=(v_x; v_y; v_z)=v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + v_z \hat{k}\]

\[\vec{a}=(a_x; a_y; a_z)=a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}\]

Y las ecuaciones horarias quedarán:

La posición;

\[\vec{r}(t)=\vec{r_0}+\vec{v_0}.t+\frac{1}{2}.\vec{a}.t^2\]

La velocidad;

\[\vec{v}(t)=\vec{v_0}+\vec{a}.t\]

Y como aplicación, veamos un ejemplo.

Supongamos que un móvil viaja pasando por el origen de coordenadas cuando disparo mi cronómetro. El móvil lleva una aceleración \(\vec{a}=(5; -2; 0) \frac{m}{s^2}\) y la velocidad en ese momento es \(\vec{v}=(0; 10; -15) \frac{m}{s}\).

¿En qué posición estará luego de 15 segundos y qué velocidad llevará?

Viendo los datos iniciales, anotamos:

\[\vec{r_0}=(0; 0; 0) m\]

\[\vec{v_0}=(0; 10; -15) \frac{m}{s}\]

\[\vec{a}=(5; -2; 0)\frac{m}{s^2}\]

Las ecuaciones del movimiento del móvil se arman reemplazando esa info, y llegamos a:

\[\vec{r}(t)=(0; 0; 0) m + (0; 10; -15) \frac{m}{s} .t + \frac{1}{2}.(5; -2; 0)\frac{m}{s^2}.t^2\]

\[\Rightarrow \vec{r}(t)= (0; 10; -15) \frac{m}{s} .t + \frac{1}{2}.(5; -2; 0) \frac{m}{s^2}.t^2\]

\[\vec{v}(t)=(0; 10; -15) \frac{m}{s}+ (5; -2; 0) \frac{m}{s^2}.t\]

Con estas ecuaciones completas, es más sencillo encontrar la posición en \(t=15\) segundos.

Reemplazando en la ecuación de posición:

\[\vec{r}(t=15 s.)=(0; 10; -15) \frac{m}{s} . 15 s + \frac{1}{2}.(5; -2; 0) \frac{m}{s^2}.(15 s)^2\]

\[\vec{r}(t=15 s.)=(0; 150; -225) m+(\frac{1125}{2}; \frac{-550}{2}; 0) m\]

\[\vec{r}(t=15 s.)=(0+562,5; 150-225; -225) m\]

Y la posición en el tiempo 15 segundos es:

\[\vec{r}(t=15 s.)=(562,5; -75; -225) m\]

Para calcular la velocidad, reemplazamos en la ecuación correspondiente:

\[\vec{v}(t=15 s.)=(0; 10; -15) \frac{m}{s}+ (5; -2; 0) \frac{m}{s^2}.(15 s.)\]

\[\vec{v}(t=15 s.)=(0; 10; -15) \frac{m}{s}+ (75; -30; 0) \frac{m}{s}\]

\[\vec{v}(t=15 s.)=(0+75; 10-30; -15+0) \frac{m}{s}\]

Y la velocidad en el segundo 15 es:

\[\vec{v}(t=15 s.)=(75; -20; -15) \frac{m}{s}\]

Esos son los resultados del problema planteado.

Si vemos las ecuaciones de movimiento:

\[\vec{r}(t)= (0; 10; -15) \frac{m}{s} .t + \frac{1}{2}.(5; -2; 0) \frac{m}{s^2}.t^2\]

\[\vec{v}(t)=(0; 10; -15) \frac{m}{s}+ (5; -2; 0) \frac{m}{s^2}.t\]

Partimos de allí para separar el movimiento en eje X así:

\[x(t)=\frac{1}{2}.5 \frac{m}{s^2}.t^2\]

\[v_x(t)= (5; -2; 0) \frac{m}{s^2}.t\]

Claramente es un MRUV.

Lo mismo se puede ver del movimiento en eje Y, y encontrar que es MRU sobre el eje Z.

¡Ataquemos nuevos ejercicios para cerrar los conceptos!