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Posiciones Relativas entre Rectas

Introducción

 

Mira la imagen:

 

 

Podemos decir que la calle \(R\) es transversal a la calle \(S\), como también que la calle \(T\) es paralela a la calle \(S\). Las calles están representadas por rectas, y podemos compararlas según las posiciones entre sí. Si hablamos de posición entre rectas, ¿cuáles son las posiciones posibles?

 

Por ejemplo: ¿cuál es la posición relativa entre las rectas \(r\) y \(s\), de acuerdo con los siguientes datos?

 

\[r:(x, y, z)=(1,2,3)+t(2,4,5)\]

 

\[s:(x, y, z)=(1,1,1)+t(2,3,1)\]

 

A continuación aprenderemos cómo se hace.

 

 

Posición Relativa

 

Se refiere a la posición que tiene una recta en relación a otra.

 

“¿A qué te refieres?”

 

Existen \(4\) posiciones posibles entre rectas:

 

     \(\bullet\) Rectas que se cruzan- son rectas que no poseen ningún punto en común ni son paralelas entre sí.

 

 

     \(\bullet\) Secantes- son rectas que poseen un punto en común.

 

 

     \(\bullet\) Paralelas- son rectas paralelas, sin ningún punto en común

 

 

     \(\bullet\) Coincidentes- son rectas paralelas que poseen todos los puntos en común.

 

 

Ahora que sabemos las posibles posiciones entre rectas, vamos a estudiar cómo identificar cada una de las posiciones. Dependiendo de la ecuación de las rectas, estarán en alguna de esas \(3\) posiciones.

 

Veamos un ejemplo:

 

Las rectas \(r\) y \(s\) poseen el vector director \(\vec{r}=(2,4,5)\)  y \(\vec{s}=(2,3,1)\) respectivamente, el punto \(A=(1,2,3)\) pertenece a la recta \(r\) y el punto \(B=(1,1,1)\) pertenece a la recta \(s\). Podemos graficarlo de esta forma:

 

 

Lo primero que debemos saber es si las rectas son coplanares o no.

 

Si las rectas no son coplanares significa que las rectas se cruzan, es decir, no están en el mismo plano. En caso de que las rectas sean coplanares, entonces tenemos tres opciones: rectas paralelas, coincidentes o secantes.

 

¿Cómo saber si las rectas son coplanares o no?

 

Vamos a analizar los vectores directores de cada recta y también un vector formado por dos puntos, uno de cada recta (en este caso sería el vector formado por los puntos \(A\) y \(B\), el vector \(\overrightarrow{A B}\)). Si los vectores \((\overrightarrow{A B}, \vec{r}, \vec{s})\) son \({LI}\), las rectas \(\vec{r}\) y \(\vec{s}\) no tendrán ningún punto en común (es decir, nunca se van a cruzar y además están en planos diferentes). O sea, si hacemos el producto mixto de los vectores \((\overrightarrow{A B}, \vec{r}, \vec{s})\) y el determinante es DIFERENTE A CERO, eso significa que las rectas se cruzan.

 

Volviendo al ejemplo:

 

Entonces, ¿cuál es la posición relativa de las rectas \(r\) y \(s\)? 

 

\[\overrightarrow{A B}=B-A=(1,1,1)-(1,2,3)=(0,-1,-2)\]

 

 

\[-4 \neq 0 \therefore \text {son rectas que se cruzan}\] 

 

¡Las rectas se cruzan!

 

“¿Y si el producto mixto da CERO?”

 

Si esto ocurre tenemos el caso contrario, las rectas son coplanares, es decir, pueden ser: rectas paralelas, coincidentes o secantes. Para decir cuál de las \(3\), debemos ver el vector director de cada una de las rectas. Vamos a suponer que los vectores de las rectas \(r\) y \(s\) son, respectivamente, \(\vec{r}\) y \(\vec{s}\).

 

     \(\bullet\) Si \(\vec{r}=\alpha \vec{s}\), es decir, son proporcionales, entonces significa que las rectas son paralelas. Para verificar si son distintas o iguales basta con probar si el punto \(A\) de \(r\) también pertenece a \(s\). Si pertenece, \(s\) y \(r\) son iguales, sino, son distintas.

 

     \(\bullet\) Si \(\vec{r} \neq \alpha \vec{s}\), entonces son secantes.

 

Por ejemplo, tenemos estas dos rectas en \(R^{2}\):

 

\[r: x+4 y-7=0\]

 

\[s: 3 x+y+1=0\]

 

Como las rectas están en \(R^{2}\), estas serán secantes o paralelas.

 

Primero, vamos a hallar los vectores directores y verificar si \(\vec{r}=\alpha \vec{s}\).

 

Vamos a escoger dos puntos aleatorios para la recta \(r\) y \(s\), calcular el vector que los une, para así obtener los vectores directores.

 

Para la recta \(r\), tenemos los puntos \(A=(-1,2)\) y \(B=(3,1)\). Calculando el vector \(\overrightarrow{A B}\), tenemos

 

\[(3,1)-(-1,2)=(4,-1)\]

 

De esta forma, obtenemos que \(\vec{r}=(4,-1)\).

 

Para la recta \(s\) tenemos los puntos \(C=(1,-4)\) y \(D=(-1,2)\). Calculando el vector \(\overrightarrow{C D}\), tenemos

 

\[(-1,2)-(1,-4)=(-2,6)\]

 

Entonces, el vector director es \(\vec{s}=(-2,6)\).

 

Vamos a verificar si \(\vec{r}=\alpha \vec{s}\)

 

\[(4,-1)=\alpha(-2,6)\]

 

Si lo desarrollamos, tenemos que:

 

\[\left\{\begin{array}{l}4=-2 \alpha \rightarrow \alpha=-2 \\ -1=6 \alpha \rightarrow \alpha=-\frac{1}{6}\end{array}\right.\]

 

Como los valores de \(\alpha\) no coinciden, las rectas sólo pueden ser SECANTES.

 

Intersección de rectas

 

Ya descubrimos que las rectas son secantes, sin embargo, aún te pueden preguntar cuál es su punto de intersección. ¡Vamos a calcularlo!

 

Para ello tenemos que tratar a las ecuaciones de las rectas como un sistema:

 

\[\left\{\begin{array}{c}x+4 y=7 \space (I)\\ 3 x+y=-1 \space (II)\end{array}\right.\]

 

De \((I)\) tenemos que \(x=7-4 y(i)\). Sustituyendo en \((I I)\),

 

\[3(7-4 y)+y=-1\]

 

\[21-12 y+y=-1 \rightarrow y=2\]

 

Sustituyendo \(y=2\) en \((i)\), tenemos \(x=7-4 \times 2 \rightarrow x=-1\).

 

Entonces, el punto de intersección es \((-1,2)\).

 

Perpendicularidad y Ortogonalidad

 

Normalmente utilizamos los términos perpendicularidad y ortogonalidad como si fueran lo mismo. ¿Será que es lo mismo o existe alguna diferencia?

 

¡Si, existe una diferencia! Sin embargo, dicha diferencia sólo tiene sentido cuando hablamos de rectas. Pues, dos rectas son perpendiculares cuando forman \(90^{\circ}\) entre sí, es decir, son secantes. Mientras que dos rectas ortogonales también forman un ángulo de \(90^{\circ}\), estas pueden ser secantes o se cruzan.

 

Podemos entender estos dos conceptos a través de un cubo, donde todos los ángulos son de \(90^{\circ}\).

 

Mira estos dos cubos:

 

 

 

Las rectas rojas son un ejemplo de las rectas perpendiculares, mientras que las azules son rectas ortogonales.

 

“¿Cómo podemos verificar si las rectas son paralelas u ortogonoles?”

 

Primero verificamos si dos rectas son ortogonales haciendo el producto interno entre los vectores directores:

 

\[\text {Si } \space \vec{r} \cdot \vec{s}=0 \rightarrow \text {son ortogonales}\]

 

\[\text {Si } \vec{r} \bullet \vec{s} \neq 0 \rightarrow \text {no son ortogonales}\]

 

Si las rectas \(r\) y \(s\) son ortogonales, y queremos verificar si son perpendiculares basta con probar si las rectas poseen algún punto en común, es decir, si son secantes.

 

¡Y eso es todo, aquí terminamos!

 

RESUMEN:

 

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