Ángulo entre la Recta y el Plano
Anteriormente vimos el ángulo entre rectas, ¿pero qué podemos decir sobre el ángulo entre la recta y el plano?
Para ello tenemos una fórmula; a continuación veremos cómo funciona.
Considerando que el plano tiene un vector normal \(\vec{n}\) y que el vector director de la recta es \(\vec{r}\).
La fórmula para hallar el ángulo \(\boldsymbol{\theta}\) entre la recta y el plano es:
\[\sin \theta=\frac{|\vec{n} \cdot \vec{r}|}{|\vec{n}||\vec{r}|} \rightarrow \theta=\sin ^{-1} \frac{|\vec{n} \cdot \vec{r}|}{|\vec{n}||\vec{r}|}\]
Aquí \(\theta\) también varía entre \(0^{\circ}\) y \(90^{\circ}\).
¡Veamos un ejemplo!
Considere el plano: \(\pi: 4 x-y+z+3=0\) y la recta \(r:\left\{\begin{array}{c}x=t \\ y=1+2 t \\ z=2-t\end{array}\right.\). ¿Cuál es el ángulo entre ellos? Bien, de la ecuación de la recta tenemos que \(\vec{r}=(1,2,-1)\) y de la ecuación del plano, tenemos \(\vec{n}=(4,-1,1)\).
Vamos a realizar el producto interno entre \(\vec{r}\) y \(\vec{n}\):
\[\vec{n} \bullet \vec{r}=4 \times 1+(-1) \times 2+1 \times(-1)=1\]
Y los módulos:
\[|\vec{n}|=\sqrt{4^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\]
\[|\vec{r}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{6}\]
Colocando todo en la fórmula:
\[\sin \theta=\frac{|1|}{3 \sqrt{2} \times \sqrt{6}}=\frac{1}{3 \sqrt{12}}\]
Y el resultado es: \(\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{1}{6 \sqrt{3}}\right)\).
Observación: para que no te confundas con otras fórmulas de ángulos, recuerda que esta es la única que tiene seno, las otras tienen coseno.
¡Eso es todo amigos, recuerden pasar por la sección de ejercicios!
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