Introducción al Plano

Imagina que eres un arquitecto que está diseñando un edificio de diez pisos. Tu jefe te pidió que identificaras cada uno de los 10 pisos a través de la ecuación de un plano. ¿Cómo podemos definir un plano?

Tranquilo, en esta ocasión aprenderemos a identificar los planos de cada piso del edificio.

¡Comencemos!

Para definir un plano debemos conocer un vector que sea normal al plano, que en el gráfico es el vector \(\vec{n}\) y un punto conocido, que en este caso es \(A\). Digamos que el primer piso del edificio es \(\vec{n}=(1,2,3)\) y \(A=(1,1,1)\). ¿Qué? ¿Cómo?

La Ecuación General o Cartesiana del Plano tiene la siguiente forma:

\[a x+b y+c z+d=0\]

¿Qué son \(a, b, c\) y \(d\)? Son constantes. \(a, b\) y \(c\) son las coordenadas del vector normal al plano. Entonces, considerando \(\vec{n}=(1,2,3)=(a, b, c)\), tendríamos:

\[1 x+2 y+3 z+d=0\]

Falta definir el valor de \(d\), ¿verdad? Para ello, vamos a usar el punto \(A=(1,1,1)\). Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de \(A\) en las incógnitas \(x, y\) y \(z\) de la siguiente forma:

\[1 x+2 y+3 z+d=0\]

\[1.1+2.1+3.1+d=0 \rightarrow d=-6\]

Y así llegamos a la expresión general del plano del primer piso del edificio:

\[x+2 y+3 z-6=0\]

En resumen,

¡CUIDADO! Cuando hablamos de rectas el vector \((a, b, c)\) es el vector director de la recta que es paralelo a la misma. Pero, en el plano el vector \(\vec{n}=(a, b, c)\) el vector que es perpendicular al plano.

¡Genial! Ya sabemos cómo obtener la ecuación general cuando tenemos el vector normal al plano y un punto conocido. ¿Y si tuviéramos dos vectores paralelos al plano y un punto conocido?

¡Vamos allá!

Si tenemos, como en el gráfico, los vectores \(\vec{u}, \vec{v}\) y \(\overrightarrow{A P}\) y queremos determinar la ecuación general del plano, haremos el producto mixto entre los vectores e igualaremos a CERO. Ya que si el producto mixto es cero, entonces los tres vectores son coplanares, es decir, van a definir ese plano. Vamos a suponer que el punto \(A\) sigue siendo \(A=(1,1,1),\), el vector \(P=(x, y, z)\) un punto cualquiera, \(\vec{v}=(2,-1,0)\) y \(\vec{u}=(-1,2,-1)\). Entonces, armando el producto mixto tendremos:

Resolviendo:

\[1(x-1)+0(y-1)+4(z-1)-(1(z-1)+0(x-1)-2(y-1))=0\]

\[x+2 y+3 z-6=0\]

Llegamos a la misma ecuación que habíamos visto en el ejemplo anterior, no es coincidencia, pues estamos trabajando en el mismo plano, solo que de una forma diferente, por tanto, la ecuación general del plano debe ser la misma. 

Cuidado: los vectores paralelos al plano NO pueden ser paralelos entre sí, es decir, \(\vec{v} \neq n \vec{u}\). Si los vectores son paralelos debemos hallar otro vector para hacer el producto mixto.

Generalizando lo que hicimos y definiendo \(A=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), P=(x, y, z),\) \(\vec{u}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)\) y \(\vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)\). El producto mixto es:

Solo falta igualar a CERO y resolver de la misma forma que antes.

Acabamos de aprender dos formas de armar la ecuación general del plano. Pero el plano también puede ser representado por la ecuación vectorial y paramétrica. 

Como vimos, un plano puede ser definido por \(3\) vectores. En lugar de hacer el producto mixto, podemos escribir una ecuación del plano de otra forma, llamada “Ecuación vectorial del plano”, que es así:

Considerando los vectores del edificio tendríamos:

\[(x, y, z)=(1,1,1)+{\lambda}(2,-1,0)+\mu(-1,2,-1)\]

Entonces, si escribimos coordenada a coordenada, tenemos:

\[\left\{\begin{array}{l}x=1+2 \lambda-1 \mu \\ y=1-1 \lambda+2 \mu \\ z=1+0 \lambda-1 \mu\end{array}\right.\]

Ese conjunto de ecuaciones es llamado Ecuaciones Paramétricas del Plano. Siendo \(\lambda\) y \(\mu\) parámetros del plano que pertenecen al conjunto de los reales.

De forma resumida, tenemos que:

¡Y eso es todo, vamos a practicar en la sección de ejercicios!