Distancia entre la Recta y el Plano

Introducción

Antes de empezar a calcular distancias, recordemos las posiciones relativas posibles entre la recta y el plano:

Entonces surge la pregunta: ¿cuándo tiene sentido calcular la distancia entre una recta y un plano?

A continuación analizaremos las distancias en cada caso:

Si una \(r\) es transversal a un plano \(\pi\), entonces la distancia entre la recta y el plano es CERO (porque la recta literalmente va a cruzar el plano).

Sucederá lo mismo cuando la recta esté contenida en el plano, la distancia será CERO. 

Por otro lado, si la recta es paralela al plano tendremos que calcular la distancia. Por tanto, sólo vamos a calcular la distancia entre el plano y la recta cuando estos sean paralelos entre sí.

Encontrando la distancia entre la recta y el plano

Ya sabemos que existen varias distancias posibles entre la recta y el plano:

Queremos la menor distancia posible, es decir, la distancia perpendicular:

El objetivo es calcular esa distancia. Analizando a detalle la situación, podemos ver que en realidad tenemos que calcular la distancia entre un punto y el plano. ¡Veamos cómo se calcula!

Calcular la distancia entre la recta y el plano

Para calcular dicha distancia tendremos que seguir los siguientes pasos:

     \(\bullet\) Escoger un punto cualquiera perteneciente a la recta;

     \(\bullet\) Calcular la distancia del punto escogido hasta el plano utilizando la fórmula del tema anterior.

Veamos un ejemplo:

Cual es la distancia entre el plano \(\pi: 4 x+2 y-z+1=0\) y la siguiente recta:

\[r:\left\{\begin{array}{c}x=-t \\ y=1+t \\ z=1-2 t\end{array}\right.\]

Para calcular la distancia, vamos a escoger un punto cualquiera de la recta. Diciendo que \(t=0\), vamos a escoger el punto \((0,1,1)\).

Solo falta calcular la distancia a través de la fórmula:

\[d(P, \pi)=\frac{\left|a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\]

Colocando los valores en la fórmula,

\[d(P, \pi)=\frac{|4 \times 0+2 \times 1+(-1) \times 1+1|}{\sqrt{4^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}}\]

El resultado es:

\[d(P, \pi)=\frac{2}{\sqrt{21}}\]

Esa es la distancia entre la recta \(r\) y el plano \(\pi\).

¡Eso es todo amigos, no olviden seguir practicando en la sección de ejercicios!