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Calculisto

Distancia entre un Punto y el Plano

¡Bienvenidos, espero que estén genial! ¡Comencemos!

 

Si tenemos un punto \(P=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\) y un plano \(\pi\) con ecuación general:

 

\[a x+b y+c z+d=0\]

 

 

Si observamos detalladamente, existen varias distancias posibles entre el punto \(P\) y el plano \(\pi\), por ejemplo:

 

 

La distancia entre el punto \(P\) y el plano \(\pi\) siempre será la menor distancia posible. Y para que esto ocurra, tendremos que escoger la distancia que será perpendicular al plano usando el vector normal:

 

 

Supongamos un plano \(\pi\) con ecuación general: \(a x+b y+c z+d=0\) y un punto \(P=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\); la distancia entre el punto y el plano es:

 

\[d(P, \pi)=\frac{\left|a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\]

 

¡Si, esa fórmula!

 

Para terminar, veamos un ejemplo:

 

Considere el plano \(\pi: 2 x+y-z+5=0\) y el punto \(P=(3,2,1)\). ¿Cuál es la distancia entre ellos?

 

Simplemente debemos aplicar la fórmula, así:

 

De la ecuación del plano, tenemos \(a=2, b=1, c=-1, d=5\) y sabemos que \(P=(3,2,1)=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\). Sólo falta sustituir en la fórmula:

 

\[d(P, \pi)=\frac{\left|a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\]

 

\[d(P, \pi)=\frac{|2 \times 3+1 \times 2+(-1) \times 1+5|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}}\]

 

¡La distancia entre ellos es: \(d(P, \pi)=\frac{12}{\sqrt{6}}\)!

 

¡Y eso es todo amigos, no olviden seguir practicando en la sección de ejercicios!

 

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