Distancia entre un Punto y el Plano

¡Bienvenidos, espero que estén genial! ¡Comencemos!

Si tenemos un punto \(P=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\) y un plano \(\pi\) con ecuación general:

\[a x+b y+c z+d=0\]

Si observamos detalladamente, existen varias distancias posibles entre el punto \(P\) y el plano \(\pi\), por ejemplo:

La distancia entre el punto \(P\) y el plano \(\pi\) siempre será la menor distancia posible. Y para que esto ocurra, tendremos que escoger la distancia que será perpendicular al plano usando el vector normal:

Supongamos un plano \(\pi\) con ecuación general: \(a x+b y+c z+d=0\) y un punto \(P=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\); la distancia entre el punto y el plano es:

\[d(P, \pi)=\frac{\left|a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\]

¡Si, esa fórmula!

Para terminar, veamos un ejemplo:

Considere el plano \(\pi: 2 x+y-z+5=0\) y el punto \(P=(3,2,1)\). ¿Cuál es la distancia entre ellos?

Simplemente debemos aplicar la fórmula, así:

De la ecuación del plano, tenemos \(a=2, b=1, c=-1, d=5\) y sabemos que \(P=(3,2,1)=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\). Sólo falta sustituir en la fórmula:

\[d(P, \pi)=\frac{\left|a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\]

\[d(P, \pi)=\frac{|2 \times 3+1 \times 2+(-1) \times 1+5|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}}\]

¡La distancia entre ellos es: \(d(P, \pi)=\frac{12}{\sqrt{6}}\)!

¡Y eso es todo amigos, no olviden seguir practicando en la sección de ejercicios!