Ángulo entre Rectas

Imagina que estás creando un collage de fotos para tu cuarto, y quieres que todas las fotos estén inclinadas en cierto ángulo. Sin embargo, solo sabes las ecuaciones de las rectas que pasan por el marco de las fotos. 

“¿Y qué hacemos ahora?”

En esta ocasión, aprenderemos a calcular el ángulo entre rectas.

Si tenemos dos rectas, \(r\) y \(s\), siendo que \({r}\) posee el vector director \(\vec{r}\), y \(s\) el vector \(\vec{s}\), el ángulo entre ellas, \(\theta\), es dado por la siguiente fórmula:

\[\cos \theta=\frac{|\vec{r} \cdot \vec{s}|}{|\vec{r}||\vec{s}|} \rightarrow \theta=\cos ^{-1} \frac{|\vec{r} \cdot \vec{s}|}{|\vec{r}||\vec{s}|}\]

Cabe resaltar que el ángulo \(\theta\) varía entre \(0^{\circ}\) y \(90^{\circ}\).

Para encontrar el ángulo entre las rectas solo debemos aplicar la fórmula anterior.

¡Entonces, vamos a resolver el problema del collage!

Imagina que la ecuación de la recta azul es \(A:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=4+6 t\end{array}\right.\) y la de la recta roja es \(V:\left\{\begin{array}{c}x=1+h \\ y=-2-2 h\end{array}\right.\).

Sabemos que los vectores directores de esas ecuaciones son: \(\vec{A}=(2,6)\) y \(\vec{V}=(1,-2)\).

Con eso, vamos a calcular el producto interno \(\vec{A} \cdot \vec{V}\) y los módulos de los vectores directores.

\[\vec{A} \cdot \vec{V}=(2,6) \cdot(1,-2)=-10\]

\[|\vec{A}|=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=\sqrt{40}\]

\[|\vec{V}|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5}\]

Colocando todo en la fórmula, tenemos

\[\cos \theta=\frac{|-10|}{\sqrt{40 \times 5}}\]

\[\cos \theta=\frac{10}{10 \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Y el resultado es \(\theta=45^{\circ}\).

¡Y eso es todo amigos, no olviden pasar por la sección de ejercicios!