Posición entre Planos

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

En esta ocasión estudiaremos posiciones relativas entre planos, siendo este el último tema de posiciones.

Existen \(3\) posiciones relativas entre planos:

     \(\bullet\) Paralelos

     \(\bullet\) Coincidentes

     \(\bullet\) Secantes

Podemos analizar la posición relativa de los planos \(\pi_{1}\)  y \(\pi_{2}\) mediante los coeficientes de la ecuación general de los planos. Si tenemos:

\[\pi_{1}: a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z+d_{1}=0 \quad y \quad \pi_{2}: a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z+d_{2}=0\]

     \(\bullet\) Si \(\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1}\right)=\alpha\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}, d_{2}\right)\), entonces los planos son coincidentes.

     \(\bullet\) Si \(\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right)=\alpha\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right)\), pero \(d_{1} \neq \alpha d_{2}\), entonces los planos son paralelos.

¡Veamos un ejemplo!

Considera los planos: \(\pi_{1}: 3 x+2 y-z+1=0\) y \(\pi_{2}: x+\frac{2}{3} y-\frac{1}{3} z+\frac{2}{3}=0\). ¿Cuál es la posición relativa entre ellos?

Primero vamos a separar los coeficientes de cada plano:

\[\pi_{1}:(3,2,-1,1)\]

\[\pi_{2}:\left(1, \frac{2}{3},-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\]

Ahora veamos si son múltiplos entre sí:

\[(3,2,-1,1)=\alpha\left(1, \frac{2}{3},-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\]

Desarrollando:

\[\left\{\begin{array}{l}3=1 \alpha \rightarrow \alpha=3 \\ 2=\frac{2}{3} \alpha \rightarrow \alpha=3 \\ -1=-\frac{1}{3} \alpha \rightarrow \alpha=3 \\ 1=\frac{2}{3} \alpha \rightarrow \alpha=\frac{3}{2}\end{array}\right.\]

Como \(\alpha\) en relación a los coeficientes \(d\) de los planos no funcionó, tenemos la siguiente situación: \(\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right)=\alpha\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right)\), pero \(d_{1} \neq \alpha d_{2}\).

Por tanto, los planos son PARALELOS.

Y si los planos fueran los siguientes:

\(\pi_{1}: 3 x+2 y-\frac{1}{3} z+1=0\) y \(\pi_{2}: x+\frac{2}{3} y-\frac{1}{3} z+\frac{2}{3}=0\)

La única diferencia con el ejemplo anterior es el coeficiente que acompaña a \(z\) en el plano \(\pi_{1}\). Calculando \(\alpha\) tendremos:

\[\left\{\begin{array}{l}3=1 \alpha \rightarrow \alpha=3 \\ 2=\frac{2}{3} \alpha \rightarrow \alpha=3 \\ \frac{1}{3}=-\frac{1}{3} \alpha \rightarrow \alpha=-1 \\ 1=\frac{2}{3} \alpha \rightarrow \alpha=\frac{3}{2}\end{array}\right.\]

Tendríamos: \(\left(a_{1}, b_{1}\right)=\alpha\left(a_{2}, b_{2}\right)\), pero \(c_{1} \neq \alpha c_{2}\) y \(d_{1} \neq \alpha d_{2}\). Como más de dos coeficientes no son proporcionales entonces los planos son secantes.

Planos Perpendiculares

Dos planos, además de secantes, pueden ser perpendiculares.

Para descubrirlo debemos analizar los vectores normales de cada plano. Observa los vectores normales de los planos \(\pi_{1}\) y \(\pi_{2}\):

En este caso \(\pi_{1}\) y \(\pi_{2}\) son planos perpendiculares, y si observamos la imagen, sus vectores normales \(\overrightarrow{n_{1}}\) y \(\overrightarrow{n_{2}}\) también lo son.

Recuerdas cuando te dije: si dos vectores son perpendiculares, su producto interno es nulo. Podemos aplicarlo para descubrir si dos planos son o no perpendiculares.

Dos planos son perpendiculares si el producto interno entre los vectores normales es CERO.

\[\overrightarrow{n_{1}} \bullet \overrightarrow{n_{2}}=0\]

En resúmen:

¡Eso es todo amigos, no olviden practicar en la sección de ejercicios!