Ángulo entre Planos

Imagina que vas a construir una rampa de acceso para silla de ruedas. Dicha rampa está formada por dos planos, y quieres que tenga inclinación de \(15^{\circ}\). Si tuvieras la altura y la longitud de la base de la rampa podrías utilizar la relación:

\[\tan \theta=\frac{\text { altura }}{\text { base }}\]

Sin embargo, solo tienes la ecuación general de cada plano. ¿Cómo hallar el ángulo entre los dos planos?

Si tenemos dos planos con vectores normales \(\overrightarrow{n_{1}}\) y \(\overrightarrow{n_{2}}\) respectivamente, el ángulo entre esos dos planos es:

\[\cos \theta=\frac{\left|\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right|\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|} \rightarrow \theta=\cos ^{-1} \frac{\left|\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right|\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|}\]

¡Veamos un ejemplo!

¿Cuál es el ángulo formado entre los planos: \(\pi_{1}: 2 x+y-z+1=0\) y \(\pi_{2}: x+2 y+3 z=0\)?

De las ecuaciones de los planos, tenemos:

\[\overrightarrow{n_{1}}=(2,1,-1)\]

\[\overrightarrow{n_{2}}=(1,2,3)\]

Vamos a realizar el producto interno entre \(\overrightarrow{n_{1}}\) y \(\overrightarrow{n_{2}}\).

\[\overrightarrow{n_{1}} \bullet \overrightarrow{n_{2}}=2 \times 1+1 \times 2+(-1) \times 3=1\]

Y los módulos:

\[\left|\overrightarrow{n_{1}}\right|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{6}\]

\[\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}\]

El resultado es \(\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{21}}\right)\).

¡Eso es todo, no olvides practicar en las sección de ejercicios!