ou

Este contenido es exclusivo para usuarios registrados.

¡Regístrese gratis en el portal de ingeniería más grande!

Política de privacidad

Calculisto

Distancia entre un Punto y la Recta

Introducción

 

Antes de comenzar recordemos brevemente el tema anterior, la distancia entre dos puntos. 

 

Sean dos puntos \(A=(x, y, z) B=\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)\). Si queremos encontrar la distancia entre \(A\) y \(B\) podemos aplicar la fórmula:

 

\[d(A, B)=\sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2}}\]

 

¡Ya estamos listos para comenzar!

 

Distancia menor

 

¿Alguna vez te has puesto a pensar sobre las distancias que existen de un punto a una recta? O sea:

 

 

Dependiendo del punto en el que esté la recta la distancia será mayor o menor. De esta forma, cuando decimos que queremos calcular la distancia que existe de un punto a una recta, nos referimos a calcular la menor distancia posible entre ambos.



Entonces surge la pregunta, ¿cuándo tenemos la menor distancia posible?

 

Cuando el ángulo entre la recta \({r}\) y la línea que une a la recta con el punto forma un ángulo de \(90^{\circ}\):

 

 

Entonces, para calcular la distancia entre el punto y la recta tenemos que hallar el punto \(Q\) que hace un ángulo de \(90^{\circ}\), para luego calcular la distancia. Lo hacemos de esta forma porque el producto interno entre dos vectores puede ser calculado de la siguiente manera:

 

\[\langle u, v\rangle=|u||v| \cos \theta\]

 

Entonces, si el ángulo que utilizamos es \(90^{\circ}\), tendremos que \(\cos 90^{\circ}=0\). Por tanto, \(\langle u, v\rangle=0\).

 

Pasos a seguir

 

A continuación veremos los pasos para calcular la distancia entre un punto y una recta. Veamos el siguiente ejemplo:

 

Si tuviéramos una recta con ecuación: \(r: X=(1,1,1)+t(1,2,4)\) y un punto \(P=(1,2,3)\), ¿cuál sería la distancia a la que está el punto de la recta?

 

 

El objetivo es hallar el punto \(Q\), que pertenece a la recta \(r\), de forma que el vector \(\overrightarrow{P Q}\) forme \(90^{\circ}\) con el vector director \(\vec{r}\). Para eso debemos seguir los siguientes pasos:

 

Paso 1: encontrar el punto genérico \(Q\)

 

 

La recta \(r\) está compuesta por infinitos puntos, vamos a escribir el punto \(Q\) de una forma genérica. Como este pertenece a la recta \(r\) sabemos que un punto cualquiera de \(r\), por su ecuación vectorial, es:

 

\[Q=(1,1,1)+(t, 2 t, 4 t)\]

 

\[Q=(1+t, 1+2 t, 1+4 t)\]

 

Paso 2: encontrar el vector \(\overrightarrow{P Q}\)

 

 

Sabiendo \(Q\), podemos escribir el vector \(\overrightarrow{P Q}\):

 

\[\overrightarrow{P Q}=Q-P\]

 

\[\overrightarrow{P Q}=(1+t, 1+2 t, 1+4 t)-(1,2,3)\]

 

\[\overrightarrow{P Q}=\bigg(t, 2 t-1,4 t-2\bigg)\]

 

Paso 3: hacer el producto interno de \(\overrightarrow{P Q}\) y \(\vec{r}\) e igualar a \(0\).

 

¿Recuerdas que necesitamos que \(PQ\) forme un ángulo de \(90^{\circ}\) con la recta? Hasta ahora tenemos un punto \(P\) cualquiera, que no necesariamente hará el ángulo de \(90^{\circ}\). Cuando el producto interno entre dos vectores es igual a cero significa que son vectores perpendiculares, entonces igualar el producto interno entre \(\overrightarrow{P Q}\) y \(\vec{r}\) va a satisfacer la condición que necesitamos.

 

 

Por la ecuación de la recta \(r\), sabemos que su vector director es \(\vec{r}=(1,2,4)\). Como queremos que el vector \(\overrightarrow{P Q}\) forme \(90^{\circ}\) con el vector \(\vec{r}\), entonces el producto interno entre esos vectores debe ser CERO.

 

Utilizaremos el producto escalar para hacer las operaciones:

 

\[\overrightarrow{P Q} \cdot \vec{r}=0\]

 

\[(t, 2 t-1,4 t-2) \cdot(1,2,4)=0\]

 

Resolviendo,

 

\[t+4 t-2+16 t-8=0 \rightarrow t=\frac{10}{21}\]

 

Paso 4: descubrir el punto \(Q\)

 

Sabiendo \(t\), descubrimos el punto \(Q\):

 

\[Q=(1+t, 1+2 t, 1+4 t)=\left(\frac{31}{21}, \frac{41}{21}, \frac{61}{21}\right)\]

 

Paso 5: calcular la distancia entre los puntos \(P\) y \(Q\).

 

Ahora que tenemos \(P\) y \(Q\), solo nos falta calcular la distancia entre ambos puntos, usando la siguiente fórmula:

 

\[d(P, Q)=\sqrt{\left(1-\frac{31}{21}\right)^{2}+\left(2-\frac{41}{21}\right)^{2}+\left(3-\frac{61}{21}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{105}}{21}\]

 

¡Y así se calcula la distancia entre el punto \(P\) y la recta \(r\)!

 

RESUMEN

 

 

¡Y eso es todo amigos, no olviden practicar en la sección de ejercicios!

Hay un error?

Todos los Resúmenes