Posiciones Relativas entre la Recta y el Plano

¿Cuales son las posiciones relativas posibles?

Existen \(3\) posiciones entre una recta \(r\) y un plano \(\pi\)

     \(\bullet\) \(r\) está contenida en \(\pi\)

     \(\bullet\) \(r\) y \(\pi\) son paralelos

     \(\bullet\) \(r\) y \(\pi\) son secantes

Tenemos dos maneras de estudiar las posiciones relativas: mediante la ecuación general del plano o a través de \(2\) vectores paralelos al plano.

Cuando tenemos la ecuación general del plano \(a x+b y+c z+d=0\) y el vector director de la recta \(r: \vec{r}=(e, f, g)\), podemos estudiar la posición relativa de la siguiente forma:

     \(\bullet\) Si \(a e+b f+c g \neq 0, r\) y \(\pi\) son secantes. 

     \(\bullet\) Si \(a e+b f+c g=0, r\) y \(\pi\) no son secantes. Para verificar si \(r\) está contenida en \(\pi\) o es paralela a \(\pi\), tanto solo debemos escoger un punto \(A\) de \(r\) y verificar si pertenece a \(\pi\). Si pertenece es porque \(r\) está contenida en \(\pi\), de lo contrario es paralela.

Por otro lado, si tenemos dos vectores paralelos al plano \(\pi(\vec{u}, \vec{v})\) y el vector \(\vec{r}\) de la recta \(r\), podemos hacerlo de la siguiente manera:

     \(\bullet\) Si el producto mixto entre \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{r}) \neq 0\) entonces \(r\) y \(\pi\) son secantes.

     \(\bullet\) Si el producto mixto entre \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{r})=0\) no son transversales. Para saber si son paralelos o contenida solo debemos verificar si \(m\) punto de la recta \(r\) pertenece al plano \(\pi\).

Importante: los vectores paralelos al plano no pueden ser paralelos entre sí, es decir, \(\vec{v} \neq \alpha \vec{u}\).

¡Veamos ejemplos!

Cuál es la posición relativa entre el plano \(\pi: 2 x-y+3 z+1=0\) y la recta \(r:\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\ y=1+t \\ z=2+t\end{array}\right.\).

Bien, de la ecuación de la recta tenemos que \(\vec{r}=(-1,1,1)\). Tenemos que sustituir ese vector en la ecuación del plano sin el coeficiente \(d\):

\[2 \times(-1)-1 \times 1+3 \times 1=0\]

El resultado es cero, por tanto, \(r\) y \(\pi\) no son secantes. 

Veamos si un punto de la recta pertenece al plano restandolo en la ecuación del plano. Vamos a usar el punto \(P=(2,1,2)\) y la ecuación del plano completa:

\[2 \times 2-1 \times 1+3 \times 2+1=10 \neq 0\]

Como el punto \(P\) no satisface la ecuación del plano, la recta \(r\) no está contenida en el plano. Entonces \(r\) solo puede ser PARALELA al plano. 

¡Veamos otro ejemplo!

Cuál es la posición relativa entre la recta \(r:\left\{\begin{array}{c}x=3 t \\ y=2+t \\ z=1-2 t\end{array}\right.\) y el plano \(\pi\), sabiendo que \(\vec{u}=(-1,1,1)\) y \(\vec{v}=(0,3,1)\) son vectores paralelos a \(\pi\).

Recuerda que \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) no son paralelos entre sí.

De la ecuación de \(r\) tenemos que \(\vec{r}=(3,1,-2)\). Solo falta calcular el producto mixto \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{r})\).

\[\left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & -2\end{array}\right|=1 \neq 0\]

De esa forma descubrimos que \(r\) y \(\pi\) son SECANTES.

Vamos a hacer una breve aclaración sobre dos términos que la gente tiende a confundir.

Perpendicularidad y Ortogonalidad

Dos rectas son perpendiculares cuando forman \(90^{\circ}\) entre sí, y son secantes. Mientras que las rectas ortogonales pueden ser secantes o que se cruzan.

Cuando hablamos de posiciones relativas entre la recta y el plano no tiene sentido hablar de ortogonalidad, porque no pueden tener \(90^{\circ}\) ni tocarse. Por tanto, el plano y la recta son perpendiculares si, y solamente si, el vector director de la recta \(r,\) es decir, \(\vec{r}\) es paralelo al vector normal al plano \(\pi(\vec{n})\):

\[\vec{r}=\alpha \vec{n}\]

En resúmen:

¡Y eso es todo, vamos a los ejercicios!