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Calculisto

Distancia entre Rectas

¡Bienvenidos, espero que estén genial! 

 

Siguiendo el mismo camino del tema anterior, en esta ocasión estudiaremos la distancia entre rectas.

 

Donde nos encontramos con tres casos.

 

Cuando las rectas son secantes la distancia entre ellas es CERO. Tiene sentido, porque las rectas se cruzan.

 

¿Pero qué pasaría si fueran paralelas o estuvieran en otro plano? A continuación veremos qué hacer en cada caso. 

 

Rectas paralelas:

 

Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas debemos seguir el procedimiento utilizado para calcular la distancia entre un punto y una recta.

 

 

Por ejemplo, si tenemos las rectas: \(r: X=(1,1,1)+t(1,2,3)\) y \(s: X=(1,2,4)+h(2,4,6)\).

 

Primero, escogemos un punto en alguna de las rectas. En este caso, vamos a escoger el punto \(P=(1,2,4)\) que pertenece a la recta \(s\). Ahora tenemos que hallar el punto \(Q\). Como \(Q\) pertenece a \(r\):

 

\[Q=(1+t, 1+2 t, 1+3 t)\]

 

Nuevamente, calcularemos el vector \(\overrightarrow{P Q}\) que debe ser ortogonal al vector director de una de las rectas, puede ser \(\vec{r}\) o \(\vec{s}\), la que sea, pues son paralelas, por tanto, sus vectores directores son proporcionales:

 

\[\overrightarrow{P Q}=Q-P=(1+t, 1+2 t, 1+3 t)-(1,2,4)=(t, 2 t-1,3 t-3)\]

 

Sabiendo que \(\overrightarrow{P Q}\) debe ser ortogonal al vector director de una de las rectas, entonces escogemos \(\vec{r}=(1,2,3)\):

 

\[\overrightarrow{P Q} \bullet \vec{r}=0\]

 

\[(t, 2 t-1,3 t-3) \cdot(1,2,3)=0 \rightarrow t+4 t-2+9 t-9=0 \rightarrow t=\frac{11}{14}\]

 

Sabiendo el valor de \(t\) descubrimos \(Q\)

 

\[Q=(1+t, 1+2 t, 1+3 t)=\left(\frac{25}{14}, \frac{18}{7}, \frac{47}{14}\right)\]

 

Por último, debemos calcular la distancia entre \(P\) y \(Q\):

 

\[d(P, Q)=d(P, Q)=\sqrt{\left(1-\frac{25}{14}\right)^{2}+\left(2-\frac{18}{7}\right)^{2}+\left(4-\frac{47}{14}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{266}}{14}\]

 

 

Rectas que se cruzan (no están en el mismo plano)

 

Tenemos dos formas de calcular la distancia en este tipo de recta. 

 

Primera opción

 

En este método el proceso es el mismo que el de las rectas paralelas. 

 

 

En este caso escribimos los puntos \(P\) y \(Q\) conforme a la ecuación de cada recta. Escribimos los puntos, por definición el vector \(\overrightarrow{P Q}\) debe ser ortogonal al vector \(\vec{r}\) y al vector \(\vec{s}\), que son los vectores directores de las rectas. Entonces, tendremos que:

 

\[\overrightarrow{P Q} \cdot \vec{r}=0 \quad y \quad \overrightarrow{P Q} \cdot \vec{s}=0\]

 

Haciendo eso, hallaremos los puntos \(P\) y \(Q\), por tanto, solo faltaría calcular la distancia entre ellos.

 

A diferencia de las paralelas, aquí tendrás que escribir dos puntos cualquiera, esto quiere decir que tendrás que calcular dos productos internos, en lugar de uno.

 

Segunda opción

 

¡Este método es el más rápido!

 

Imagina dos rectas que se cruzan:

 

     \(\bullet\) \(r\) con vector director \(\vec{u}\) y punto \(P_{1}\)

 

     \(\bullet\) \(s\) con vector director \(\vec{v}\) y punto \(P_{2}\)

 

Para que entiendas, mira el paralelepipedo:

 

 

 La altura \(d\) es exactamente la distancia entre las rectas.

 

Para hallar esa distancia, diremos que el volúmen de ese paralelepipedo puede ser escrito como:

 

\[V= \text{ Area de la base } \times \text  {altura}\]

 

Es decir,

 

\[V=|\vec{u} \times \vec{v}| d\]

 

Recuerda que cuando realizamos el producto mixto en módulo entre tres vectores estamos calculando el volumen del paralelepipedo formado por ellos.

 

Tenemos los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), ¿cuál es el tercero?

 

El tercero será formado por los puntos, es decir, el vector \(\overrightarrow{P_{1} P_{2}}\).

 

El volumen puede ser escrito como:

 

\[V=\left|\left(\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{P_{1} P_{2}}\right)\right|\]

 

Igualando las dos expresiones para el volumen, obtenemos

 

\[\left|\left(\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{P_{1} P_{2}}\right)\right|=|\vec{u} \times \vec{v}| d\]

 

Entonces:

 

\[d=\frac{\mid\left(\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{\left.P_{1} P_{2}\right)} \mid\right.}{|\vec{u} \times \vec{v}|}\]

 

Y esa será la distancia entre las rectas.

 

¡Eso es todo amigos, no olviden practicar en la sección de ejercicios!

 

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