Extensión de funciones

¡Bienvenidos, espero que estén bien! En esta ocasión hablaremos sobre la serie de Fourier. Antes de ir al grano, veremos algunos conceptos. El primero es “cómo hacer la extensión de una función”.

Veremos cómo transformar una función cualquiera en periódica. Además, veremos cómo convertir dicha extensión par o impar. Entonces, recordemos que son las funciones par e impar. 

Funciones par e impar

Funciones pares

Una función par es definida por:

\[f(x)=f(-x)\]

Veamos esa definición a través de un ejemplo. ¿La función \(y=x^{2}\) es una función par? Para descubrirlo vamos a determinar \(f(-x)\):

\[f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}\]

Como \(f(x)=f(-x)\), la función \(y=x^{2}\) es par.

Una de las propiedades importantes de las funciones par es que son simétricas en relación al eje \(y\). Parece confuso, ¿verdad? Tranquilo, vamos a explicarlo a través del siguiente gráfico que representa la función \(y=x^{2}\).

Observando el gráfico, vemos que la función par está reflejada en el eje \(y\), es decir, la curva representada a la derecha del eje \(y\) es un espejo de la curva representada a la izquierda del eje \(y\). Eso es una función par.

Funciones impares

Ahora que sabemos qué es una función par, vamos a estudiar la función impar. Son definidas por:

\[f(x)=-f(-x)\]

Parecen más complicadas que las funciones pares, ¿verdad? Tranquilo, veamos un ejemplo. ¿La función \(y=x^{3}\) es una función impar? Para descubrirlo vamos a determinar \(f(-x)\).

\[f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}\]

Como \(f(x)=-f(-x)\) la función \(y=x^{3}\) es impar.

¿Y cómo será el gráfico de una función impar? El siguiente gráfico representa la función \(y=x^{3}\):

¿Y cómo graficamos esas funciones? De esta forma: imagina una simetría en relación al eje \(y\) (abajo en verde) y lo mismo en el eje \(x\):

Decimos que la función impar es simétrica en relación al origen. 

Funciones periódicas

Vamos a definir la función periódica. Como su propio nombre lo índica, la función se repite “cada periodo”, por ejemplo:

Podemos ver que la función se repite cada intervalo \(2 \pi\) de \(x\). Entonces, podemos definir el período \(T\) de una función como el menor valor del intervalo para el cual una función se repite. En este ejemplo, vale \(2 \pi\). Si la función tiene período \(T\), entonces:

\[f(x)=f(x+T)\]

Extensión de funciones

Por supuesto que no toda la función es periódica. Ahora vamos a aprender un truco que no permite convertir en periódica cualquier función. Imagina la función \(f(x)=x\),definida en el intervalo \(0<x<1\):

Observa que no es periódica. Ahora mira el gráfico de \(h(x)\), donde:

\[h(x)=\left\{\begin{aligned} x, & 0<x<1 \\ 0, & x=1,-1 \\ x, &-1<x<0 \end{aligned}\right.\]

\[h(x+2)=h(x)\]

¿Ves como la función definida en \([-1,1]\) se está repitiendo cada \(2\) funciones? Entonces, acabamos de crear una extensión periódica de esa función con período \(2\).

Podemos extender las funciones de dos maneras: extensión par o extensión impar.

Para que entiendas cada una de las extensiones, las veremos paso a paso. Hagamos las extensiones de la función:

\[f(x)=1-x, \quad 0<x \leq 1\]

Vamos a comenzar por la extensión par. ¿Que significa que la función sea par? Quiere decir que es un reflejo en el eje \(y\), matemáticamente tal que \(f(x)=f(-x)\). Eso quiere decir que debemos construir una función definida en \(-1 \space a \space 0\) de modo que el conjunto de \(-1\) a \(1\) sea par. En la práctica, lo que hacemos es decir que entre \(-1\) a \(0\) la función vale \(f(-x)\), es decir, \(1+x\). Entonces, tenemos

\[f(x)=\left\{\begin{array}{c}1+x,-1<x<0 \\ 1-x, 0 \leq x \leq 1\end{array}\right.\]

Ahora repetimos la función. ¿Cómo lo hacemos? Diciendo que tiene período \(2\), matemáticamente,

\[f(x+2)=f(x)\]

El gráfico de esa extensión es el siguiente

Ahora, para hacer la extensión impar de la función, definiremos entre \(-1\) a \(0\) la función \(-f(-x)\), es decir, \(-(1+x)\). Entonces,

\[g(x)=\left\{\begin{aligned}-1-x, &-1<x<0 \\ 1-x, & 0 \leq x \leq 1 \end{aligned}\right.\]

Debemos decir que la función tiene periodo \(2\), es decir, escribimos

\[g(x)=g(x+2)\]

Y este es el gráfico de la extensión:

Resumiendo los resultados

Extensión par:

\[h(x)=\left\{\begin{array}{c}1-x, 0 \leq x \leq 1 \\ 1+x,-1<x<0\end{array}\right.\]

\[h(x)=h(x+2)\]

Extensión impar:

\[g(x)=\left\{\begin{aligned}-1-x, &-1 \leq x \leq 0 \\ 1-x, & 0 \leq x \leq 1 \end{aligned}\right.\]

\[g(x)=g(x+2)\]

Entonces, siempre que sea dada una función \(f(x)\) definida en un intervalo \(0 \leq x \leq L\) tendremos que calcular \(f(-x)\) y \(-f(-x)\), y luego vamos a decir que

Extensión par:

\[h(x)=\left\{\begin{array}{c}f(x), 0 \leq x \leq L \\ f(-x), \quad-L<x<0\end{array}\right.\]

\[h(x)=h(x+2 L)\]

Extensión impar:

\[g(x)=\left\{\begin{array}{c}-f(-x), \quad-L \leq x \leq 0 \\ f(x), 0 \leq x \leq L\end{array}\right.\]

\[g(x)=g(x+2 L)\]