Obtención de la serie de Fourier

Definición

Ya debes haberte topado con funciones que dan ganas de llorar, pues la serie de Fourir viene a acabar con esos problemas. Esta serie transforma las funciones en suma de senos y cosenos.

Antes de ver cómo se transforma una función en una suma de senos y cosenos, veamos la fórmula de la serie de Fourier:

\[\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{L}+b_{n} \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L}\right)\]

Conformada por:

Los términos \(a_{0}, a_{n}\) y \(b_{n}\) que son coeficientes, números, que varían dependiendo de la función que queremos representar, más adelante veremos cómo calcularlos, ¿bien?

\(n\) presente tanto en el seno como en el coseno viene del índice de la serie, es decir, haciendo \(n=1,2,3 \ldots\) encontramos los términos del sumatorio.

Como queremos escribir una función \(f(x)\) en forma de serie, la variable \(x\) está dentro del sumatorio. 

Falta \(L\), ¿qué significa? Viene del período de la función, \(f\), que queremos representar.

Fórmula de los coeficientes de la serie de Fourier

Pero la fórmula de la serie de Fourier no sirve para nada si no tenemos los coeficientes \(a_{n}\) y \(b_{n}\). Estos vienen dados por las siguientes fórmulas:

\[a_{n}=\frac{1}{L} \int_{L}^{L} f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} d x, \quad n=0,1,2 \ldots\]

\[b_{n}=\frac{1}{L} \int_{L}^{L} f(x) \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L} d x, \quad n=1,2,3 \ldots\]

¡Atención! Mira que haciendo \(n=0\), tenemos

\[a_{0}=\frac{1}{L}\int^{L}_{-L}f(x)dx\]

¡Y cuidado! En la serie, \(a_{0}\) aparece dividido por dos.

Esas son las fórmulas de los coeficientes de la serie de Fourier. ¡Aprendetelas!

Ahora vamos a la parte que nos interesa: ¿Cómo representar las funciones por series de Fourier? Veámoslo en la práctica. 

Ejemplo: graficar la función dada y encontrar la serie de Fourier.

\[f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1 & -L \leq x<0 \\ 0 & 0 \leq x<L\end{array}\right.\]

\[f(x+2 L)=f(x)\]

Paso 1: graficar \(f(x)\)

Para hacer el gráfico de \(f(x)\), primero dibujamos los términos dados que están en los corchetes (que en \(-L<x<L\) valen), en rojo. Incluso los puntos de discontinuidad, las bolitas llenas y vacías. 

Luego, solo repetimos el dibujo a la izquierda y a la derecha (cada \(2 L\) la función se repite). Incluso los puntos de discontinuidad.

Esa es la función periódica. 

Paso 2: ahora debemos encontrar la serie de Fourier de \(f\), tenemos lo siguiente:

\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{L}+b_{n} \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L}\right)\]

\[a_{n}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} d x, \quad n=0,1,2 \ldots\]

\[b_{n}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L} d x, \quad n=1,2,3 \ldots\]

Debemos calcular esas integrales. 

Paso 3: vamos a calcular \(a_{0}\)

Haciendo \(n=0\) en la expresión de \(a_{n}\), tenemos

\[a_{0}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) d x\]

¿Pero lo que colocamos en el lugar de \(f(x)\)? Mira el gráfico, que de \(-L\) a \(L\) tenemos dos expresiones diferentes para \(f(x)\), entonces la única manera es dividir esa integral en dos, así:

\[a_{0}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{0} 1 d x+\frac{1}{L} \int_{0}^{L} 0 d x\]

Mira los intervalos que escribimos. La función en \(1\) vale \(-L \leq x<0\) y en \(0\) es \(0<x<L\). Resolviendo las integrales, tenemos

\[a_{0}=1\]

Paso 4: ahora vamos a calcular los otros \(a_{n}\)`s

Tenemos que:

\[a_{n}=\frac{1}{L} \int_{L}^{L} f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} d x\]

Dividiendo la integral en dos, como hicimos con \(a_{0}\):

\[a_{n}=\frac{1}{L} \int_{L}^{0} 1 \cdot \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x+\frac{1}{L} \int_{0}^{L} 0 \cdot \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x\]

\[a_{n}=\left.\frac{1}{n \pi} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\right|_{L} ^{0}=0\]

Paso 5: ahora solo falta calcular los \(b_{n}\)`s 

\[b_{n}=\frac{1}{L} \int_{L}^{L} f(x) \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L} d x\]

Dividiendo la integral en dos:

\[b_{n}=\frac{1}{L} \int_{L}^{0} 1 \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x+\frac{1}{L} \int_{0}^{L} 0 \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x\]

\[b_{n}=\frac{1}{L} \int_{L}^{0} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x=-\frac{1}{n \pi}[1-\cos (-n \pi)]\]

Y como:

\[\cos (-n \pi)=\cos (n \pi)\]

\[b_{n}=\frac{1}{L} \int_{L}^{0} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x=-\frac{1}{n \pi}[1-\cos (n \pi)]\]

Siempre que te encuentres un coseno (o seno) en la expresión de \(a_{n}\) o \(b_{n}\) intentar librarte de él, para que la respuesta sea más sencilla. El \(99,9 \%\) de la veces, puedes hacerlo a través de este análisis:

\[\cos (n \pi)=\left\{\begin{array}{c}-1 \quad n \text { es impar } \\ 1 \quad n \text { es par }\end{array}\right.\]

Entonces

\[b_{n}=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{n \pi}[1-(-1)]=-\frac{2}{n \pi} & n \text { es ímpar } \\ -\frac{1}{n \pi}[1-(1)]=0 & n \text { es par }\end{array}\right.\]

Paso 6: sustituir todo lo que encontramos, tenemos:

\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{L}+b_{n} \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L}\right)\]

\[a_{0}=1\]

\[a_{n}=0\]

\[b_{n}=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{2}{n \pi}, & n \text { es impar } \\ 0, & n \text { es par }\end{array}\right.\]

Eso nos da:

\[f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\]

Ahora vamos con calma. No podemos escribir directamente \(b_{n}=-\frac{2}{n \pi}\) porque eso solo es válido para \(n\) impar. Entonces, vamos a definir que \(n=2 k-1\), ya que eso garantiza que tenemos índices impares. Para \(k=1\) tenemos que \(n=1\), por tanto, la serie debe comenzar en \(k=1\). Entonces tenemos:

\[f(x)=\frac{1}{2}-\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{\pi(2 k-1)} \operatorname{sen}\left(\frac{(2 k-1) \pi x}{L}\right)\]