Identidad de Parseval

Son raros los casos en los que conseguiremos obtener el valor de la suma de una serie. Entonces, cuando te pregunten dicho valor ¿qué vas a hacer? Pues vas a pensar en la Identidad de Parseval.

Como aprendimos, con la serie de Fourier, podemos escribir una función \(f(x)\) periódica de la siguiente forma:

\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{L}+b_{n} \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L}\right)\]

La identidad de Parseval es dada por la siguiente fórmula:

\[\frac{1}{L} \int_{L}^{L}|f(x)|^{2} d x=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)\]

Así es, esa relación es con los mismos coeficientes de la serie de Fourier de la función \(f(x)\).

Sí podemos calcular el valor de la integral y de \(a_{0}\), ¿seremos capaces de descubrir el valor de la suma de la serie? 

Ejemplo: sea

\[f(x)=\left\{\begin{array}{c}L, \quad 0 \leq x \leq L \\ 0, \quad-L<x<0\end{array}\right.\]

\[f(x+2 L)=f(x)\]

A partir de \(f(x)\), muestre que:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}\]

Paso 1: vamos a encontrar los coeficientes de la serie de Fourier para relacionarlos en la Identidad de Parseval.

Los coeficientes de la serie son:

\[a_{n}=\frac{1}{L} \int_{L}^{L} f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} d x, \quad n=0,1,2 \ldots\]

\[b_{n}=\frac{1}{L} \int_{L}^{L} f(x) \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L} d x, \quad n=1,2,3 \ldots\]

Como \(f(x)=f(x+2 L)\), sabemos que el periodo de la función es \(2L\), ese el intervalo en el que ella se repite. 

Paso 2: vamos calcular \(a_{0}\)

Haciendo \(n=0\) en la expresión de \(a_{n}\), tenemos:

\[a_{0}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) d x\]

¿Pero que colocamos en el lugar de \(f(x)\)? Observa que de \(-L\) a \(L\) tenemos dos expresiones diferentes para \(f(x)\), entonces la única manera es dividir esa integral en dos, mira:

\[a_{0}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{0} 0 d x+\frac{1}{L} \int_{0}^{L} L d x\]

Mira los intervalos que escribimos. La función vale \(0\) en \(-L \leq x<0\) y \(L\) en \(0<x<L\). Resolviendo esas integrales, tenemos:

\[a_{0}=L\]

Paso 3: ahora vamos a calcular los otros \(a_{n}\)’s

Tenemos que:

\[a_{n}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} d x\]

Dividiendo esa integral en dos, como hicimos con \(a_{0}\):

\[a_{n}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{0} 0 \cdot \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x+\frac{1}{L} \int_{0}^{L} L \cdot \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x\]

\[a_{n}=\left.\frac{L}{n \pi} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\right|_{0} ^{L}\]

\[a_{n}=\frac{L}{n \pi}[\operatorname{sen}(0)+\operatorname{sen}(n \pi)]\]

\[a_{n}=0\]

Paso 4: ahora solo falta calcular los \(b_{n}\)’s

\[b_{n}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L} d x\]

Dividiendo esa integral en dos:

\[b_{n}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{0} 0 \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x+\frac{1}{L} \int_{0}^{L} L \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x\]

\[b_{n}=\int_{0}^{L} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x\]

\[b_{n}=-\left.\frac{L}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\right|_{0} ^{L}\]

\[b_{n}=\frac{L}{n \pi}[1-\cos (n \pi)]\]

Siempre que encuentres un coseno (o un seno) en la expresión de \(a_{n}\) o \(b_{n}\) intenta deshacerte de él, porque se simplifica la respuesta. El \(99,9 \%\) de la veces, puedes hacerlo a través del siguiente análisis:

\[\cos (n \pi)=\left\{\begin{array}{rl}-1 & n \text { es impar } \\ 1 & n \text { es par }\end{array}\right.\]

Entonces

\[b_{n}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{L}{n \pi}[1-(-1)]=\frac{2 L}{n \pi} & n \text { es impar } \\ \frac{L}{n \pi}[1-(1)]=0 & n \text { es par }\end{array}\right.\]

Paso 5: ahora vamos a sustituir todo lo que encontramos, tenemos:

\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{L}+b_{n} \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L}\right)\]

\[a_{0}=L\]

\[a_{n}=0\]

Eso nos da:

\[b_{n}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2 L}{n \pi}, & n \text { es ímpar } \\ 0, & n \text { es par }\end{array}\right.\]

Ahora vamos con calma. No podemos escribir directamente \(b_{n}=\frac{2}{n \pi}\) porque eso solo es válido para  \(n\) impar. Entonces, vamos a definir \(n=2 k-1\), porque eso garantiza que tenemos índices impares. Por tanto, tenemos: 

\[b_{k}=\frac{2 L}{(2 k-1) \pi}\]

Paso 6: ahora vamos a pensar un poco. Tenemos que usar la relación de Parseval para encontrar lo que queremos. Vamos a allá:

Usando la relación de Parseval:

\[\frac{1}{L} \int_{-L}^{L}|f(x)|^{2} d x=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)\]

Sustituyendo los valores, entonces:

\[\frac{1}{L} \int_{-L}^{0} 0^{2} d x+\frac{1}{L} \int_{0}^{L} L^{2} d x=\frac{L^{2}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(0^{2}+\left(\frac{2 L}{(2 k-1) \pi}\right)^{2}\right)\]

Entonces, llegamos a:

\[L^{2}=\frac{L^{2}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2 L}{(2 k-1) \pi}\right)^{2}\]

Ajustando: 

\[\frac{L^{2}}{2}=\frac{4 L^{2}}{\pi^{2}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}}\]

Con eso llegamos a donde queríamos:

\[\frac{\pi^{2}}{8}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}}\]

¡Vamos a los ejercicios para que pongas en práctica todo lo que aprendiste!