Modelo de la ecuación de onda

Introducción

Anteriormente vimos la ecuación de onda, alguna de sus variantes y cómo resolver su EDP. En esta ocasión veremos su modelo.

A diferencia de los modelos que vimos en EDO, las de EDP no son tan variadas. La ecuación de onda es una EDP sumamente específica para los casos que hemos estudiado. La diferencia es que cuando trabajamos con modelos el problema no nos dará las ecuaciones para resolverlo, tendremos que encontrarlas.

Primero veremos cómo extraer la ecuaciones y luego algunos consejos claves para resolver ese tipo de problemas. 

Modelo de la ecuación de onda

Veamos la siguiente ecuación:

Considere una cuerda elástica de \(50\) de longitud cuyos extremos son fijos. La cuerda es puesta en movimiento a partir de su posición de equilibrio con velocidad inicial \(g(x)\).

Lo primero que debemos tener a la mano es la EDP de la ecuación de onda. 

\[\alpha^{2} u_{x x}=u_{t t}\]

También tenemos que recordar que \(u\) es una función de dos variables, \(u(x,t)\). Lo primero que dice es la longitud de la cuerda, la cual está representada por \(L\) en las ecuaciones.

\[L=50\] 

Luego, el enunciado dice que los extremos son fijos. Esto quiere decir que la función no varía ni en \(0\) ni en en \(L\) para cualquier instante. 

\[u(0,t)=0\]

\[u(50,t)=0\]

Dice que la posición inicial es la posición de equilibrio, por tanto, podemos obtener la siguiente ecuación:

\[u(x,0)=0\]

La última ecuación dice que la velocidad inicial es definida por la función \(g(x)\), es decir:

\[u_{t}(x,0)=g(x)\]

Obtenemos el siguiente sistema:

\[\left\{\begin{array}{c}\alpha^{2} u_{x x}=u_{t t} \\ u(0, t)=u(50, t)=0 \\ u(x, 0)=0 \\ u_{t}(x, 0)=g(x)\end{array}\right.\]

Y con este ejemplo hemos abarcado gran parte del modelo de la ecuación de onda. Existen otros casos, como cuando un extremo está suelto, si ese extremo fuera el extremo \(x=L\), implicará la siguiente ecuación. 

\[u_{x}(L,t)=0\]

También es común que el enunciado defina la función de la posición inicial. Vamos a suponer que dice que la posición inicial es definida por la función \(f(x)\), entonces tendremos esta ecuación:

\[u(x,0)=f(x)\]

¡Genial, vamos a los ejercicios!