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Calculisto

Ecuación de Laplace del rectángulo

Introducción

 

¡Bienvenidos, espero que estén genial! Si le echas un vistazo a los temas pasados verás que estudiamos problemas de la ecuación de calor y de onda. Estos problemas involucran ecuaciones con dos variables: una espacial \(x\) y una temporal \(t\). Pero ahora es distinto, tendremos un problema con dos dimensiones espaciales: \(x\) y \(y\). 

 

En este tema, buscaremos describir un fenómeno que ocurre en un plano rectangular. Por ejemplo, si calentamos una chapa rectangular de metal por un tiempo, y luego queremos saber la distribución del calor en esa chapa, utilizaremos una de las ecuaciones diferenciales más importantes, la Ecuación de Laplace

 

\[u_{xx}+u_{yy}=0\]

 

¿De dónde viene esa ecuación? Puede venir de muchos problemas, pero lo que nos interesa es cómo resolverla. Pero si tienes curiosidad, imagina un problema de calor dado en dos dimensiones: \(x\) y \(y\).

 

\[\alpha^{2}\left(u_{x x}+u_{y y}\right)=u_{t t}\]

 

Esa función describe la temperatura del rectángulo en un dado punto \((x,y)\), en un determinado instante \(t\).

 

De esta manera, si queremos encontrar una solución estacionaria al problema  (haciendo \(u_{tt}=0\)) llegamos a la Ecuación de Laplace.

 

Un punto importante, como estamos hablando de la Ecuación de Laplace del rectángulo, el problema siempre nos dará \(4\) condiciones de contorno, que pueden ser en:

 

\[u(x, 0) \rightarrow \text {un punto cualquiera en } x \text { y el extremo del rectángulo en } y=0\]

 

\[u(x, b) \rightarrow \text {un punto cualquiera en } x \text { y el extremo del rectángulo en }y=b\]

 

\[u(0, y) \rightarrow \text {un punto cualquiera en } x \text { y el extremo del rectángulo en }x=0\]

 

\[u(a, y) \rightarrow \text {un punto cualquiera en } x \text { y el extremo del rectángulo en }x=a\]

 

En general, \(3\) de esas condiciones de contorno serán iguales a cero y la otra es dada por una función \(f(x)\) o \(f(y)\).

 

A continuación, vamos a resolver un ejemplo. 

 

Método de resolución

 

Vamos a resolver el siguiente ejemplo:

 

\[u_{xx}+u_{yy}=0\]

 

\[u(x,0)=0\]

 

\[u(x,b)=0\]

 

\[u(0,y)=0\]

 

\[u(a,y)=f(y)\]

 

Graficando todo lo anterior podemos ver el rectángulo:

 

 

Esas son las condiciones del problema. Nos da el perfil de \(u(x,y)\) en los bordes del rectángulo de lados \(a\) y \(b\), y queremos saber qué ocurre al interior del rectángulo. En otras palabras, queremos encontrar la función \(u(x,y)\), que es una superficie que tiene los "bordes" que el problema ha dado.

 

A continuación, vamos a resolver la ecuación de Laplace paso a paso.

 

Paso 1: separación de variables

 

Como queremos hallar la solución para un plano, buscamos una solución del tipo:

  

\[u(x,y)=X(x) \cdot Y(y)\]

 

Como la solución debe satisfacer la ecuación de Laplace, tenemos:

 

\[u_{xx}+u_{yy}=0\]

 

\[X^{\prime \prime}(x) Y(y)+ X(x) Y^{\prime \prime}(y)=0\]

 

Ahora pasamos todo lo que tenga \(x\) a un lado y lo que tenga \(y\) para el otro:

 

\[\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=-\frac{Y^{\prime \prime}(y)}{Y(y)}=\lambda\]

 

Como la igualdad vale para toda \(x\) y toda \(y\), esas razones deben ser iguales a una constante, \(\lambda\).

 

Separando en dos ecuaciones, tenemos:

 

\[X^{\prime \prime}-\lambda X= 0\]

 

\[Y^{\prime \prime}+ \lambda Y=0\]

 

Aplicando la separación de variables a las condiciones del problema:

 

\[u(x, 0)=0 \quad \rightarrow \quad \underbrace{X(x)}_{\neq 0} Y(0)=0 \quad \rightarrow \quad Y(0)=0\]

 

\[u(x, b)=0 \quad \rightarrow \quad \underbrace{X(x)}_{\neq 0} Y(b)=0 \quad \rightarrow \quad Y(b)=0\]

 

\[u(0, y)=0 \rightarrow \quad X(0) \underbrace{Y(y)}_{\neq 0}=0 \quad \rightarrow \quad X(0)=0\]

 

Siempre dejamos de última la condición que es una función, en este caso, \(u(a,y)=f(y)\).

 

Entonces, tenemos lo siguiente:

 

\[\left\{\begin{array}{c}X^{\prime \prime}-\lambda X=0 \\ X(0)=0 \\ Y^{\prime \prime}+\lambda Y=0 \\ Y(0)=Y(b)=0\end{array}\right.\]

 

Paso 2: resolver el problema que tiene dos condiciones (de contorno)

 

\[\left\{\begin{array}{c}Y^{\prime \prime}+\lambda Y=0 \\ Y(0)=Y(b)=0\end{array}\right.\]

 

Ya conocemos ese problema ¿verdad? La solución del problema de Dirichlet homogéneo es:

 

\[Y_{n}(y)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi y}{b}\right)\]

 

\[\lambda_{n}=\left(\frac{\pi n}{b}\right)^{2} \quad n=1,2,3 \ldots\]

 

Paso 3: teniendo los valores de \(\lambda_{n}\), vamos a resolver la otra EDO:

 

Ahora tenemos que resolver el problema en \(x\), tenemos:

 

\[\left\{\begin{array}{c}X^{\prime \prime}-\lambda X=0 \\ X(0)=0\end{array}\right.\]

 

La ecuación característica de esa EDO es la siguiente:

 

\[r^{2}-\lambda=0\]

 

\[r=\pm \sqrt{\lambda}\]

 

Tenemos una novedad: ya vimos que \(\lambda > 0\), cuando encontramos su valor en el paso anterior. Por tanto, las soluciones de esta EDO serán del tipo:

 

\[X(x)=Ae^{r_{1}x}+Be^{r_{2}x}\]

 

OBS: por la definición del seno y coseno hiperbólico, tenemos:

 

\[\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\]

 

\[\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\]

 

Por tanto, vamos a representar la solución de dicha EDO (que es la combinación de exponenciales) de esa forma, esto nos va a simplificar la respuesta luego (incluso es más usual):

 

\[X(x)=c_{1} \cosh (r x)+c_{2} \operatorname{senh}(r x)\]

 

En este caso, \(r\) es la raíz positiva, es decir, \(r=\sqrt{\lambda}\)

 

Entonces, las soluciones de la EDO en \(x\) son:

 

\[X(x)=c_{1} \cosh \left(\frac{n \pi x}{b}\right)+c_{2} \operatorname{senh}\left(\frac{n \pi x}{b}\right)\]

 

Aplicando la condición \(X(0)=0\).

 

\[X(0)=c_{1} \underbrace{\cosh (0)}_{1}+c_{2} \underbrace{\operatorname{senh}(0)}_{0}=0\]

 

\[c_{1}=0\]

 

Y llegamos a:

 

\[X_{n}(x)=\operatorname{senh}\left(\frac{n \pi x}{b}\right)\]

 

Entonces, podemos escribir lo siguiente:

 

\[u_{n}(x, y)=\operatorname{senh}\left(\frac{n \pi x}{b}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi y}{b}\right)\]

 

Paso 4: escribir \(u(x,y)\) como una serie y hallar los coeficientes de la misma.

 

Como las combinaciones lineales de \(u_{n}\) también son soluciones del problema, tenemos que:

 

\[u(x, y)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{senh}\left(\frac{n \pi x}{b}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi y}{b}\right)\]

 

Ahora vamos a usar la condición que faltó: \(u(a,y)=f(y)\).

 

\[u(a, y)=\sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{b_{n} \operatorname{senh}\left(\frac{n \pi a}{b}\right)}_{\text {coef. de la serie }} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi y}{b}\right)=f(y)\]

 

Recuerda que el coeficiente de los términos de esa serie es el que está en la llave. Lo que sólo depende de \(n\) (no de \(y\)). Como esa es una serie de Fourier de senos, haciendo una extensión impar de \(f(y)\), podemos decir que:

 

\[b_{n} \operatorname{senh}\left(\frac{n \pi a}{b}\right)=\frac{2}{b} \int_{0}^{b} f(y) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi y}{b}\right) d y\]

 

Ten en cuenta que el período de la extensión es \(2b\). Por eso aparecerán esos \(b\)’s en la integral, ten cuidado.

 

\[b_{n}=\frac{2}{b \operatorname{senh}\left(\frac{n \pi a}{b}\right)} \int_{0}^{b} f(y) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi y}{b}\right) d y\]

 

De esta manera, encontramos los coeficientes \(b_{n}\) de la serie. Entonces, sustituimos en:

 

\[u(x, y)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{senh}\left(\frac{n \pi x}{b}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi y}{b}\right)\]

 

Listo, esa es la respuesta.

 

Pero espera, en algunos problemas, \(x\) tendrá las dos condiciones de contorno y la otra será en \(y\). Diferente al problema que vimos. Por ello, siempre es importante que resuelvas primero el problema con dos condiciones de contorno. ¡Ten cuidado!

 

Veamos los pasos para resolver este tipo de problemas:

 

   \(1.\) Decir que la solución es de tipo \(u(x,y)=X(x)Y(y)\)

 

   \(2.\) Colocar la forma presentada en el paso 1 dentro de la ecuación de Laplace

 

   \(3.\) Separar todo lo que sea función de \(y\) a un lado y lo que sea de \(x\) al otro. 

 

   \(4.\) Igualar todo a \(\lambda\)

 

   \(5.\) Obtener las EDO’s separadas: una para \(Y(y)\) y otra para \(X(x)\)

 

   \(6.\) Sustituir la forma del paso \(1\) en las condiciones de contorno, recordando que no queremos una solución inútil. 

 

   \(7.\) Resolver la EDO que tenga dos condiciones de contorno

 

   \(8.\) Estudiar los casos de \(\Delta\), no podemos tener una solución inservible (aquí obtenemos los autovalores, \(\lambda\), y las autofunciones)

 

   \(9.\) Resolver la EDO que falta, introduciendo el valor de \(\lambda\) que obtuvimos en el paso \(8\)

 

 \(10.\) Hacer la condición lineal de las soluciones obtenidas en el paso \(9\) (aparecerá la serie de Fourier)

 

 \(11.\) Para obtener \(b_{n}\), resolver la serie de Fourier de la condición inicial

 

Eso es todo, ¡vamos a los ejercicios!

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