Problemas de autovalor
Problemas de contorno
Hasta ahora, hemos visto algunos métodos para resolver EDO’s.
Pues en esta ocasión veremos EDO’s diferentes, que involucran condiciones de contorno. “¿Cómo? ¿Condiciones de contorno?”
Mira esta EDO:
\[y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+3 y=0\]
\[y(0)=0\]
\[y^{\prime}(0)=1\]
Ya conoces este tipo de problema, ¿no? Es un problema de valor inicial, porque tenemos una EDO y dos condiciones iniciales en el punto \(x=0\), tenemos \(y^{\prime}(0)\) y \(y(0)\). Mira este problema:
\[y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+3 y=0\]
\[y(0)=0\]
\[y^{\prime}(\pi)=1\]
Parece que no cambió casi nada, ¿verdad? La diferencia es que, en ese problema, las condiciones no se refieren al mismo punto, la primera se da en \(x=0\) y la segunda en \(x=\pi\). Por tanto, se trata de un problema de valores de contorno.
De la misma forma que los hicimos para los problemas de valor inicial, primero vamos a intentar encontrar una solución general \(y(x)\) para esa EDO; luego aplicamos las condiciones de contorno, para así encontrar los valores de las constantes de la solución.
Entonces, ¿cuál es la diferencia? La principal diferencia entre estos dos tipos de problema es que los de valor inicial ciertamente poseen una solución única, mientras que los de contorno no. Los problemas de contorno pueden tener una, ninguna o hasta infinitas soluciones, como lo veremos más adelante.
Entonces, esos dos problemas pueden verse similares a primera vista, pero tienen soluciones completamente diferentes.
Repaso de la solución de EDO’s lineales
Primero, vamos a recordar un caso especial de EDO’s de \(1^{er}\) orden, que usaremos bastante de aquí en adelante:
\[y^{\prime}+p y=0\]
Ese es un problema que debe ser resuelto mediante el método de separación de variables:
\[\frac{d y}{d t}+p y=0\]
\[\frac{d y}{y}=-p d t\]
Integrando ambos lados:
\[\ln y=-p t\]
\[y=e^{-p t}\]
Ahora debemos recordar cómo resolver EDO’s de \(2^{do}\) orden mediante el método de la ecuación característica. Vamos a tomar una EDO de coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) constantes de:
\[a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0\]
Esa es una EDO de \(2^{º}\) grado (por \(y^{\prime \prime}\)) y lineal (porque no tenemos \(y^{2}\)). Para encontrar sus soluciones, escribíamos su ecuación característica:
\[a r^{2}+b r+c=0\]
En términos prácticos: sustituimos \(y^{\prime \prime}\) por \(r^{2}\), \(y^{\prime}\) por \(r\) y \(y\) por \(1\). Entonces, encontramos el(los) valor(es) de \(r\), hallando las raíces de esa ecuación de \(2^{º}\) grado.
Eso nos puede llevar a \(3\) casos:
\(1.\) \(\Delta>0\): encontramos dos raíces reales diferentes \(\left(r_{1} \neq r_{2}\right)\). En este caso, las soluciones de la EDO son de tipo \(y(x)=c_{1} e^{r_{1} x}+c_{2} e^{r_{2} x}\);
\(2.\) \(\Delta=0\): encontramos una raíz real doble \(r\). En este caso, las soluciones de la EDO son del tipo \(y(x)=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{r x}\);
\(3.\) \(\Delta<0\): encontramos dos raíces complejas conjugadas \(r_{1}=\alpha+i \beta\) y \(r_{2}=\alpha-i \beta\). En este caso, las soluciones de la EDO son del tipo \(y(x)=c_{1} e^{\alpha x} \cos \beta x+c_{2} e^{\alpha x} \operatorname{sen} \beta x\).
Bien, a continuación vamos a aplicar este método para un problema de contorno.
Ejemplo: resuelva el problema de valores de contorno
\[y^{\prime \prime}+2 y=0\]
\[y(0)=1\]
\[y(\pi)=0\]
Paso 1: hallar la ecuación característica y las raíces
\[r^{2}+2=0\]
\[r=\pm \sqrt{-2}\]
Paso 2: verificar que caso corresponde y escribir la solución general.
Bien, encontramos dos raíces complejas, ¿cierto? Porque \(\Delta=-8<0\). Podemos escribir:
\[r=0 \pm i \sqrt{2}=\alpha \pm i \beta\]
Es super importante que vuelvas a escribir la raíz que encontraste de esa forma, para no confundirte. Note que ahora la raíz es de un número positivo, pues:
\[\sqrt{-2}=\sqrt{(-1)(2)}=i \sqrt{2}\]
Entonces, la solución general es la siguiente:
\[y(x)=c_{1} e^{\alpha x} \cos \beta x+c_{2} e^{\alpha x} \operatorname{sen} \beta x\]
Sustituyendo los valores de \(\alpha\) y \(\beta\):
\[y(x)=c_{1} \cos \sqrt{2} x+c_{2} \operatorname{sen} \sqrt{2} x\]
Paso 3: para encontrar \(c_{1}\) y \(c_{2}\), usamos las condiciones de contorno. Tenemos:
\[y(0)=1=c_{1} \cos 0+c_{2} \operatorname{sen} 0\]
\[c_{1}=1\]
\[y(\pi)=0=c_{1} \cos \sqrt{2} \pi+c_{2} \operatorname{sen} \sqrt{2} \pi\]
\[c_{2}=-\frac{\cos \sqrt{2} \pi}{\operatorname{sen} \sqrt{2} \pi}=-\operatorname{cotg} \sqrt{2} \pi\]
Sustituyendo esos valores, tenemos:
\[y(x)=\cos \sqrt{2} x-\operatorname{cotg} \sqrt{2} \pi \operatorname{sen} \sqrt{2} x\]
En este caso, tenemos un problema de contorno bien definido, que posee una única solución.
Autovalores y autofunciones
Saber todo lo anterior es importante, sin embargo, no es lo que verás en tu examen. Así que hablemos de lo que nos interesa. Digamos que necesitas resolver el siguiente problema de contorno:
Ejemplo:
\[y^{\prime \prime}+\lambda y=0\]
\[y(0)=0\]
\[y(\pi)=0\]
Paso 1:
Este problema se parece mucho al que acabamos de ver, prácticamente sustituimos el \(2\) por \(\lambda\). ¡Pero eso hace que todo cambie muchísimo! Como no tenemos el valor del coeficiente, no sabemos el valor de \(\lambda\) y mucho menos sabemos a cuál de los tres casos de EDOs corresponde.
Entonces, no nos queda otra opción que considerar cada uno de los tres casos. Tenemos la siguiente ecuación característica:
\[r^{2}+\lambda=0\]
\[r=\pm \sqrt{-\lambda}\]
Paso 2: \(\Delta>0\)
Es decir, lo que está dentro de la raíz es positivo. En este caso, \(\lambda<0\). Las soluciones son del tipo:
\[y(x)=c_{1} e^{\sqrt{-\lambda} x}+c_{2} e^{-\sqrt{-\lambda} x}\]
Ahora vamos a usar las condiciones de contorno: \(y(0)=0 y(\pi)=0\)
\[y(0)=c_{1}+c_{2}=0\]
\[y(\pi)=c_{1} e^{\pi \sqrt{-\lambda}}+c_{2} e^{-\pi \sqrt{-\lambda}}=0\]
Y así obtenemos:
\[c_{2}=-c_{1}\]
\[c_{1} e^{\pi \sqrt{-\lambda}}-c_{1} e^{-\pi \sqrt{-\lambda}}=0\]
\[c_{1}(\underbrace{e^{\pi \sqrt{-\lambda}}-e^{-\pi \sqrt{-\lambda}}}_{\neq 0})=0\]
Como lo que está dentro de los paréntesis es diferente a cero, tenemos:
\[c_{1}=0\]
\[c_{2}=-c_{1}=0\]
Sustituyendo esos valores en la solución general, tenemos:
\[y(x)=0\]
Pero eso no nos sirve de nada, es solución no tiene relevancia, no nos interesa. Por tanto, en este caso, \(\Delta>0\), no nos da las soluciones para la EDO.
Paso 3: \(\Delta=0\)
En este caso, \(\lambda=0\). Las soluciones son del tipo:
\[y(x)=c_{1}+c_{2} x\]
Ahora vamos a usar las condiciones de contorno: \(y(0)=0 y(\pi)=0\)
\[y(0)=c_{1}=0\]
\[y(\pi)=c_{1}+c_{2} \pi=0\]
Eso nos da:
\[c_{2} \pi=0\]
Entonces:
\[c_{2}=0\]
Sustituyendo esos valores en la solución general, tenemos:
\[y(x)=0\]
Nuevamente, la solución no nos sirve. Veamos el tercer caso.
Paso 4: \(\Delta<0\)
Es decir, lo que está dentro de la raíz es negativo. En este caso, \(\lambda>0\). Las soluciones son del tipo:
\[y(x)=c_{1} e^{\alpha x} \cos \beta x+c_{2} e^{\alpha x} \operatorname{sen} \beta x\]
Sustituyendo:
\[r=\pm \sqrt{-\lambda}=0 \pm i \sqrt{\lambda}\]
\[y(x)=c_{1} \cos \sqrt{\lambda} x+c_{2} \operatorname{sen} \sqrt{\lambda} x\]
Ahora vamos a usar las condiciones de contorno: \(y(0)=0 y(\pi)=0\)
\[y(0)=c_{1} \cos 0+c_{2} \operatorname{sen} 0=0\]
\[c_{1}=0\]
\[y(\pi)=c_{1} \cos \pi \sqrt{\lambda}+c_{2} \operatorname{sen} \pi \sqrt{\lambda}=0\]
Eso nos da:
\[c_{2} \operatorname{sen} \pi \sqrt{\lambda}=0\]
¡Ahora vamos con calma! Si tenemos que \(c_{2}=0\), la solución es \(y(x)=0\), la cual no nos interesa. Entonces, para que la igualdad anterior sea verdadera, necesitamos que el seno sea cero.
\[\operatorname{sen} \pi \sqrt{\lambda}=0\]
Pero como el seno es una función trigonométrica, no tiene una sola respuesta, ¿verdad? El seno se anula en \(\pi, 2 \pi, 3 \pi \ldots n \pi\), múltiplos enteros de \(\pi\). Por tanto, podemos decir que:
\[\pi \sqrt{\lambda}=n \pi \quad n=1,2,3 \ldots\]
\[\sqrt{\lambda}=n\]
\[\lambda_{n}=n^{2}\]
\[\lambda_{1}=1, \quad \lambda_{2}=4, \quad \lambda_{3}=9 \ldots\]
(Recuerda que \(\lambda>0\)). Entonces, descubrimos un conjunto de valores \(\lambda_{n}\) que satisfacen el problema. Ese es el concepto de autovalor. Entonces, si el problema te pide los autovalores de alguna EDO, no te asustes, solo debes calcular la fórmula general \(\lambda_{n}\).
Obs: escribimos el índice \(n\) en \(\lambda_{n}\) exactamente para recordar que no es un único valor de \(\lambda\), sino un conjunto de valores (que dependen de \(n\)).
Bien, ¿pero para qué hallamos \(\lambda\)? ¿Acaso el objetivo no era resolver el problema, hallar \(y(x)\)? Las soluciones del \(3^{er}\) caso son de tipo:
\[y(x)=c_{1} \cos \sqrt{\lambda} x+c_{2} \operatorname{sen} \sqrt{\lambda} x\]
Ya descubrimos que:
\[c_{1}=0\]
\[\lambda_{n}=n^{2}\]
Sustituyendo:
\[y_{n}(x)=c_{2} \operatorname{sen} n x \quad n=1,2,3 \ldots\]
\[y_{1}(x)=c_{2} \operatorname{sen} x, \quad y_{2}(x)=c_{2} \operatorname{sen} 2 x, \quad y_{3}(x)=c_{2} \operatorname{sen} 3 x \ldots\]
Como tenemos un conjunto de valores de \(\lambda\), encontramos un conjunto de soluciones \(y_{n}(x)\), que es conocido como autofunciones. En realidad, escribimos las autofunciones sin la constante, por tanto, tenemos la siguiente solución para el problema:
\[y_{n}(x)=\operatorname{sen} n x\]
Cualquier múltiplo de esa respuesta también satisface la EDO. Entonces, ¿por qué no dejamos a \(c_{2}\)? Verás, básicamente es una convención que nos complica un poco la vida. Pero escribir \(c_{2}\) no es incorrecto.
Por lo general, en este tipo de problemas, vamos a encontrar respuestas en ese formato, en autovalores y autofunciones. ¿Notaste como los dos problemas son diferentes? Un pequeño detalle puede cambiarlo todo.
Y eso es todo ¡Vamos a los ejercicios!
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