Ecuación de Laplace para un disco

Introducción

 

¡Bienvenidos, espero que estén bien! Imagina que tenemos un disco metálico, a dicho disco le ponemos un soplete en medio y lo calentamos muchísimo. Debe estar caliente, ¿verdad? Ahora vamos a quitar el soplete. ¿Qué pasará?

 

Si dijiste “el disco se enfriará y entrará en equilibrio térmico”, estás en lo correcto. Pero el problema no será ese, sino hallar la distribución de temperatura a lo largo de ese disco. ¿Y cómo lo hacemos? A través de la ecuación de Laplace para un disco. 

 

Como estamos hablando de un disco, la región será limitada por la ecuación de la circunferencia, y podemos escribir la ecuación utilizando coordenadas polares, \(u(r,\theta)\). Donde \(u\) es la función que representa la temperatura en un dado punto del disco. 

 

 

Como el disco es descrito en función de \(\theta\) y \(r\), la ecuación describe la distribución de temperatura, siendo \(u(r,\theta)\) la temperatura, como:

 

\[r^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+r \frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}=0\]

 

Podríamos ver cómo obtenerla, pero la verdad es que solo nos interesa saber cómo utilizarla. 

 

Para aquellos que recuerden, esta ecuación es equivalente a la antigua Laplace para el caso de un rectángulo.

 

Sin más dilación, ¡vamos allá! 

 

Análisis general

 

Para resolver problemas de la ecuación de Laplace siempre vamos a separar las variables en la función de temperatura. Entonces, vamos a escribir:

 

\[u(\theta, r)=R(r) \Theta(\theta)\]

 

Tenemos diferentes limitaciones para esas dos funciones \((R(r)\) y \(\Theta(\theta))\) en el disco. Entonces, tendremos que evaluarlas por separado. Para hacerlo sencillo, diremos que \(R(r)\) es \(R\) y \(\Theta(\theta)\) es \(\Theta\).

 

Sustituyendo en la ecuación y utilizando la nueva notación, tenemos:

 

\[r^{2} R^{\prime \prime} \Theta+r R^{\prime} \Theta+R \Theta^{\prime \prime}=0\]

 

Ahora vamos a aislar los términos. Lo que tenga \(R\) a un lado y lo que tenga \(\Theta\) al otro. 

 

\[\Theta\left(r^{2} R^{\prime \prime}+r R^{\prime}\right)=-R \Theta^{\prime \prime}\]

 

\[\frac{r^{2} R^{\prime \prime}+r R^{\prime}}{R}=-\frac{\Theta^{\prime \prime}}{\Theta}\]

 

¡Y listo! Ahora podemos igualar esa expresión a una constante \(\lambda\) arbitraria,

 

\[\frac{r^{2} R^{\prime \prime}+r R^{\prime}}{R}=-\frac{\Theta^{\prime \prime}}{\Theta}=\lambda\]

 

Con eso, obtenemos dos EDO’s que podemos resolver de forma separada

 

\[\frac{r^{2} R^{\prime \prime}+r R^{\prime}}{R}=\lambda \rightarrow r^{2} R^{\prime \prime}+r R^{\prime}-\lambda R=0\]

 

\[-\frac{\Theta^{\prime \prime}}{\Theta}=\lambda \rightarrow \Theta^{\prime \prime}+\lambda \Theta=0\]

 

A continuación, analizaremos las limitaciones separadamente.

 

Análisis de \(\Theta(\theta)\)

 

Comenzaremos por el ángulo \(\theta\). Si tenemos una función de temperatura que actúa en función del ángulo dentro de un disco, la temperatura se repetirá cada vuelta en el disco, es decir, la función debe ser \(2\pi-\)periódica con respecto a esa variable. 

 

De este modo, cuando resolvemos una pregunta y hallamos varias soluciones para \(\Theta(\theta)\), podemos excluir todas las que no sean periódicas con período \(2\pi\).

 

¡Volvamos a la ecuación!

\[\Theta^{\prime \prime}+\lambda \Theta=0\]

 

Ahora vamos a evaluar qué rangos de valores de \(\lambda\) son posibles para la solución. Evaluaremos \(\lambda=0\), \(\lambda>0\), \(\lambda<0\).

 

Estudiando la ecuación en \(\theta\), intentamos \(\lambda=0\):

 

\[\Theta^{\prime \prime}=0\]

 

Como la segunda derivada es cero, la función \(\Theta(\theta)\) será esta (si quieres confirmar solo debes derivar \(\Theta(\theta)\) dos veces):

 

\[\Theta(\theta)=a \theta+b\]

 

No obstante, como \(\Theta\) debe ser \(2\pi-\)periódica y la ecuación es de una recta, esa solución solo funciona si el coeficiente angular es cero, es decir, \(a=0\). Por tanto, tenemos:

 

\[\Theta(\theta)=b\]

 

Probando \(\lambda>0\), podemos hacer la siguiente igualdad:

 

\[\lambda=\mu^{2}, \quad \mu>0\]

 

Suponiendo que \(\mu>0\) por simplicidad, de forma que \(|\mu|=\mu\). Siguiendo:

 

\[\Theta^{\prime \prime}+\mu^{2} \Theta=0\]

 

Que tiene ecuación característica:

 

\[\alpha^{2}+\mu^{2}=0 \rightarrow \alpha=\pm i \mu\]

 

Que resulta en la solución:

 

\[\Theta(\theta)=a_{1} \cos (\mu \theta)+a_{2} \operatorname{sen}(\mu \theta)\]

 

Como esa solución es \(2\pi-\)periódica para todo, vale. 

 

Finalmente, probando \(\lambda<0\).Haciendo:

 

\[\lambda=-\mu^{2}, \quad \mu>0\]

 

Obtenemos la ecuación:

\[\Theta^{\prime \prime}-\mu^{2} \Theta=0\]

 

Que tiene ecuación característica:

 

\[\alpha^{2}-\mu^{2}=0 \rightarrow \alpha=\pm \mu\]

 

Resultando en la solución:

\[\Theta(\theta)=b_{1} e^{\mu \theta}+b_{2} e^{-\mu \theta}\]

 

Esta solución no es \(2\pi-\)periódica para cualquier valor de \(\mu\), por tanto, concluimos que:

 

\[b_{1}=b_{2}=0\]

 

En este caso, observa que la función sería

\[\Theta(\theta)=0\]

 

Y si la función es cero, toda ecuación que describa la distribución de calor también será cero. De este modo, \(\lambda\) no podrá ser menor que cero.

 

¡Y listo! Ya tenemos las limitaciones para \(\Theta(\theta)\), donde \(\lambda \geq 0\), ahora veamos \(R(r)\)

 

Análisis de \(R(r)\)

 

Lo que sucede con la función \(R(r)\) es que normalmente las soluciones que le encontramos tiene algún factor tiende al infinito dentro de los límites del “círculo” considerado. Entonces, ¿qué podemos hacer? Desconsiderar el factor, pues a fin de cuentas la temperatura del disco debe tener un valor infinito. 

 

Vamos a la ecuación,

\[r^{2} R^{\prime \prime}+r R^{\prime}-\lambda R=0\]

 

Sustituyendo los valores válidos de \(\lambda\) en la ecuación en \(r\), para \(\lambda=0\) tenemos:

 

\[r^{2} R^{\prime \prime}+r R^{\prime}=0\]

 

Despejando:

\[r\left(r R^{\prime \prime}+R^{\prime}\right)=0\]

 

Como buscamos una solución \(R(r)\) para toda \(r\), la solución \(r=0\) no nos interesa. Siguiendo:

 

\[r R^{\prime \prime}+R^{\prime}=0\]

 

Como queremos hallar \(R(r)\), tendremos que integrar esa ecuación.

 

Despejando para poder integrar:

\[rR^{\prime \prime}=-R^{\prime}\]

 

\[\frac{R^{\prime \prime}}{R^{\prime}=-\frac{1}{r}}\]

 

Vamos a integrar en ambos lados, para que quede claro lo que estamos haciendo, cambiaré la notación que estamos usando,

 

\[\frac{\partial R^{\prime}}{\partial r} \bullet \frac{1}{R^{\prime}}=-\frac{1}{r}\]

 

\[\frac{\partial R^{\prime}}{R^{\prime}}=-\frac{\partial r}{r}\]

 

\[\int \frac{1}{R^{\prime}} d R^{\prime}=\int-\frac{1}{r} d r\]

 

\[\ln R^{\prime}=-\ln r+c_{1}\]

 

¿Recuerdas los trucos que vimos en Cálculo 1? Entonces, como \(c_{1}\) es una constante cualquiera, podemos escribirla en forma logarítmica, porque así será más fácil trabajar en la ecuación: 

 

\[c_{1} \leftrightarrow \ln c_{1}\]

 

\[-\ln r+\ln c_{1}=-\ln \frac{r}{c_{1}}\]

 

\[\ln R^{\prime}=-\ln \frac{r}{c_{1}}\]

 

\[R^{\prime}=\frac{c_{1}}{r}\]

 

Integrando nuevamente:

\[R=c_{1}\ln r+c_{2}\]

 

Analizando la función, podemos ver que no está limitada en la región estudiada, porque estamos en el interior del círculo \(r=a\), y tenemos:

 

\[\lim _{r \rightarrow 0} \ln r=-\infty\]

 

Por tanto, nos queda concluir que:

\[c_{1}=0\]

 

La solución es:

\[R(r)=c_{2}\]

 

Probando el último rango posible, \(\lambda > 0\), hacemos \(\lambda=\mu^{2}, \mu > 0\):

 

\[r^{2}R^{\prime \prime}+rR^{\prime}- \mu^{2}R=0\]

 

Que es la famosa Ecuación de Euler. Haciendo la solución genérica:

 

\[R=r^{p}\]

 

Tenemos:

\[r^{2} p(p-1) r^{p-2}+r p r^{p-1}-\mu^{2} r^{p}=0\]

 

\[p(p-1) r^{p}+p r^{p}-\mu^{2} r^{p}=0\]

 

Como \(r^{p}\neq 0\) para todos los valores de \(p\):

 

\[r^{p}\left(p(p-1)+p-\mu^{2}\right)=0\]

 

\[p^{2}-p+p-\mu^{2}=0\]

 

\[p^{2}-\mu^{2}=0 \rightarrow p=\pm \mu\]

 

Entonces, las soluciones son:

\[R(r)=d_{1}r^{\mu}+d_{2}r^{-\mu}\]

 

Como estamos en el interior del círculo \(r=a\), necesitamos que la función no tienda al infinito en ningún punto de la región, entonces, como:

 

\[\lim _{r \rightarrow 0} r^{-\mu}=-\infty\]

 

Concluimos que \(d_{2}=0\), por tanto, tenemos la autofunción:

 

\[R_{k}(r)=r^{k}\]

 

Recordando que no debemos probar \(\lambda < 0\) porque en \(\Theta\) vimos que no era válido. 

 

Recapitulando…

 

Entonces, para \(\lambda=0\) tenemos:

\[\Theta(\theta)=b\]

 

\[R(r)=c_{2}\]

 

Para \(\lambda> 0\),tenemos

 

\[\Theta(\theta)=a_{1} \cos (\mu \theta)+a_{2} \operatorname{sen}(\mu \theta)\]

 

\[R_{k}(r)=r^{k}\]

 

En fin, todo depende, lo que no puedes dejar de hacer es analizar los casos. Y básicamente, eso es todo. El resto es parecido al caso de Laplace para un rectángulo. 

 

En suma, haremos

\[u(r, \theta)=R(r) \Theta(\theta)\]

 

Donde en \(\theta\) es periódica y en \(r\) es limitada.

 

Hasta pronto, ¡vamos a los ejercicios!

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