EDP - Ecuaciones de calor
Conducción de calor
En esta ocasión utilizaremos los siguientes conceptos: series de Fourier y problemas de autovalor. Si todavía no has entendido esos dos temas, te recomiendo darles un repaso.
Antes de ir al grano, tenemos que entender la física detrás de este tema. El objeto de estudio será una barra:
“¡¿Cómo?! ¡¿Una barra?!” Si, una barra. Lo que queremos estudiar es la variación de temperatura en la barra cuando le transmitimos calor, un problema bastante común en Física e Ingeniería. Digamos que la temperatura inicial en \(x=L\) es menor que la de \(x=0\), en este caso, tenemos un flujo de calor yendo hacia la derecha.
Vamos a decir que \(u(x, t)\) es la temperatura de un punto \(x\) en el instante \(t\). Observa que la temperatura es una función de dos variables \(x\) y \(t\). Tiene sentido, ¿verdad? Porque el calor será transmitido a lo largo de la barra, de izquierda a derecha. Por tanto, la temperatura depende de la localización del punto que estemos analizando.
Ten en cuenta que la temperatura a lo largo de la barra suele ser homogénea conforme al tiempo va pasando, es decir, el flujo de calor va disminuyendo cuando \(t\) aumenta. Por tanto, notamos que la temperatura en un punto también depende de la variable \(t\), el tiempo.
Ahora a vamos colocar eso en términos matemáticos:
Para resolver problemas de calor, nos vamos a la siguiente ecuación diferencial parcial:
\[u_{t}=\alpha^{2} u_{x x}\]
Los términos \(u_{t}\) y \(u_{x x}\) tan solo son formas más simples de representar lo siguiente:
\[u_{t}=\frac{\partial u}{\partial t}\]
\[u_{x x}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\]
Entonces, la derivada parcial de \(u(x, t)\) en relación a \(t\) es igual a la segunda derivada parcial en relación a \(x\), con una constante de proporcionalidad. Recuerda que tenemos derivadas parciales exactamente porque \(u(x, t)\) es una función de dos variables.
La constante \(\alpha\), es la que da la proporción entre las derivadas, depende de la conductividad del material, de su densidad y de su calor específico, lo cual no nos servirá de mucho en este caso.
En esta ocasión, lo que vamos a resolver es la ecuación diferencial parcial que acabamos de ver.
Resolución mediante el método de separación de variables
Veamos cómo resolver los ejercicios de la ecuación de calor.
Ejemplo: encuentra la función de la temperatura \(u(x, t)\) de la barra que satisface las siguiente condiciones:
\[\left\{\begin{array}{c}u_{t}=\alpha^{2} u_{x x} \\ u(x, 0)=f(x) \quad x \in[0, L] \\ u(0, t)=u(L, t)=0 \quad t \geq 0\end{array}\right.\]
Tenemos un sistema, debemos resolver la ecuación diferencial parcial teniendo las tres condiciones que dió el problema. Primero, vamos a entender que quiere decir todo eso.
El término \(u(x, 0)\) representa la temperatura \(u(x, t)\) cuando \(t=0\), ¿cierto? Es decir, esa es la función que da la temperatura a lo largo de la barra en el instante inicial. Por tanto, tenemos un problema de valor inicial en relación a la variable \(t\). Podemos entender a \(u(x, 0)\) de esta forma:
La temperatura a lo largo de la barra varía con el transcurso del tiempo, y el problema nos dice que cuando \(t=0\), es así como está en la imagen.
Ahora las otras dos condiciones. Podemos ver que el problema fijó las temperaturas en cero tanto al inicio como al final de la barra. Eso quiere decir que, tanto para \(x=0\) como para \(x=L\), independientemente del tiempo \(t\), la temperatura es cero. Bien, como tenemos condiciones para dos puntos distintos, vemos que para la variable \(x\), tenemos un problema de valores de contorno.
Paso 1: separación de variables
¿Te diste cuenta de que tenemos “dos problemas diferentes” juntos en uno solo? Al mismo tiempo, tenemos un problema para la variable \(t\) y uno para la variable \(x\). Partiendo de ese punto, vamos a intentar separar esos dos problemas. El método que vamos a utilizar se llama separación de variables. Y es importante que entiendas cada paso que haremos a partir de ahora, porque también usarás estos conceptos en los próximos temas.
Vamos a imaginar que la función \(u(x, t)\) que estamos buscando pasa a ser escrita como la multiplicación de una función de una sola variable \(x\) por otra de una sola variable \(t\), de esa forma:
\[u(x, t)=X(x) \cdot T(t)\]
Vamos a buscar una solución de esa forma, con las variables separadas. \(u(x, t)\) tiene que satisfacer la ecuación de calor, ¿bien?
\[u_{t}=\alpha^{2} u_{x x}\]
Entonces, vamos a sustituirla allí. Tenemos:
\[X(x) \cdot T^{\prime}(t)=\alpha^{2} X^{\prime \prime}(x) \cdot T(t)\]
Ten en cuenta que, derivando en relación a \(u(x, t)\), \(t, X(x)\) es vista como una constante, lo mismo ocurre para \(T(t)\) cuando derivamos en relación a \(x\). Bien, ahora vamos a separar las variables en esa ecuación, de un lado dejamos todo lo que tiene \(x\) y del otro todo lo que tiene \(t\):
\[\frac{1}{\alpha^{2}} \frac{T^{\prime}(t)}{T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}\]
Ahora vamos con cuidado. Tenemos dos variables independientes, \(t\) y \(x\). Digamos que escogemos un valor fijo para \(t\). Así tendríamos una expresión fija del lado izquierdo, que debe ser igual al lado derecho de la ecuación para cualquier \(x\), porque no fijamos \(x\). Si esa igualdad vale para toda \(x\), entonces la expresión del lado derecho es igual a una constante. Si hacemos lo mismo del otro lado, fijando \(x\), vemos que el lado izquierdo no depende de \(t\), siendo, por tanto, una constante. Entonces, podemos escribir:
\[\frac{1}{\alpha^{2}} \frac{T^{\prime}(t)}{T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=-\lambda\]
¿Por qué ese “menos”? Al final, vamos a descubrir que \(\lambda\) es negativo, entonces, ponemos \(-\lambda\) para hacer que la constante sea positiva. Ahora vamos a separar esa igualdad en dos ecuaciones:
\[\left\{\begin{array}{l}X^{\prime \prime}+\lambda X=0 \\ T^{\prime}+\alpha^{2} \lambda T=0\end{array}\right.\]
Bien, debemos entender cómo serán las otras ecuaciones que nos dio el problema, vamos a reescribirlos usando la separación de variables \(u(x, t)=X(x) \cdot T(t)\):
\[u(0, t)=0 \quad \rightarrow \quad X(0) \cdot \underbrace{T(t)}_{\neq 0}=0 \quad \rightarrow \quad X(0)=0\]
Mira que si \(T(t)=0\), eso implica que \(u(x, t)=X(x) .0=0\), encontramos una solución que no nos sirve. Entonces, debemos tener \(X(0)=0\). Lo mismo ocurre aquí:
\[u(L, t)=0 \quad \rightarrow \quad X(L) \cdot \underbrace{T(t)}_{\neq 0}=0 \quad \rightarrow \quad X(L)=0\]
La condición \(u(x, 0)=f(x)\) nos vamos a guardar para el final.
Paso 2: resolver el problema de contorno
Transformamos todo lo que el problema nos dio en:
\[u(x, t)=X(x) \cdot T(t)\]
\[X^{\prime \prime}+\lambda X=0\]
\[T^{\prime}+\alpha^{2} \lambda T=0\]
\[X(0)=0\]
\[X(L)=0\]
\[u(x, 0)=f(x)\]
“¡Miles de ecuaciones! ¿Y ahora?” Nos vamos a encontrar con \(X(x)\) y \(T(t)\) uno a la vez para así encontrar \(u(x, t)\). Tenemos dos EDO’s para resolver, una en la variable \(x\) y otra en la \(t\), ¿cuál resolvemos primero? La que tenga 2 condiciones de contorno, siempre.
\[X^{\prime \prime}+\lambda X=0\]
\[X(0)=0\]
\[X(L)=0\]
Tenemos dos ecuaciones para \(X(x)\), una en cada punto, es decir, un problema de valores de contorno. Olvídate de las otras ecuaciones, porque ahora tenemos que resolver eso de la misma forma que vimos en el tema anterior: encontrando la ecuación característica y analizando cada caso de \(\Delta\).
Finalmente, encontramos:
Caso 1: \(\Delta>0\) solución que no nos sirve
Caso 2: \(\Delta=0\) otra solución que tampoco nos sirve
Caso 3: \(\Delta<0\) soluciones de tipo:
\[X_{n}(x)=\operatorname{sen}(\sqrt{\lambda} x)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\]
\[\lambda_{n}=\left(\frac{\pi n}{L}\right)^{2}, n=1,2,3 \ldots\]
Esos son los autovalores y las autofunciones para el problema de contorno en \(x\). Ahora vamos a resolver el problema en \(t\).
En los ejercicios, vamos a resolver problemas de contorno paso a paso. Aquí lo que importa es el método de separación de variables.
Paso 3: teniendo el valor de \(\lambda_{n}\), resolver la otra EDO y hallar la solución fundamental \(u_{n}(x, t)\).
Tenemos la siguiente EDO de \(1^{er}\) grado:
\[T^{\prime}+\alpha^{2} \lambda T=0\]
Como vimos en el tema anterior, aplicando el método de separación de variables, tenemos:
\[\frac{d T}{d t}=-\alpha^{2} \lambda T\]
\[\frac{d T}{T}=-\alpha^{2} \lambda d t\]
Integrando ambos lados
\[\ln T=-\alpha^{2} \lambda t\]
\[T(t)=e^{-\alpha^{2} \lambda t}\]
Sustituyendo \(\lambda\)
\[T_{n}(t)=e^{-\alpha^{2} \pi^{2} n^{2} t / L^{2}}\]
Sabiendo que \(u(x, t)=X(x) \cdot T(t)\), podemos escribir:
\[u_{n}(x, t)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) e^{-\alpha^{2} \pi^{2} n^{2} t / L^{2}} \quad n=1,2,3 \ldots\]
Tranquilo, casi terminamos.
Paso 4: escribir \(u(x, t)\) como una serie y hallar los coeficientes de la serie.
La \(u_{n}\) que encontramos es una fórmula general de soluciones que atienden la EDO en \(x\) y la EDO en \(t\). También sabemos, por la propia definición de las autofunciones, que los múltiplos de esa solución o las combinaciones lineales de soluciones de ese tipo también satisfacen las EDO’s.
Entonces, podemos escribir lo siguiente:
\[u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) e^{-\alpha^{2} \pi^{2} n^{2} t / L^{2}}\]
Una serie infinita no es más que la combinación lineal de infinitos términos, ¿verdad? \(b_{n}\) es el coeficiente de los términos de la serie, pronto entenderás el porqué está allí.
Solo tenemos un pequeño inconveniente: ¿Y la condición \(u(x, 0)=f(x)\)? No la usamos en ningún momento, por tanto, esta solución no atiende a esa condición. Entonces, haremos que empiece a atender.
Mira que, sustituyendo \(t=0\) en la serie, tenemos \(u(x, 0)\):
\[u(x, 0)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)=f(x)\]
Entonces, tenemos que encontrar los coeficientes \(b_{n}\) de forma que la suma de la serie sea igual a la función \(f(x)\). ¿Te parece conocido? Esa es la serie de Fourier de una función impar.
Pero \(f(x)\) no es una función periódica, sino que sólo está definida en \(0 \leq x<L\), a lo largo de la barra. Por tanto, tenemos que hacer una extensión impar de \(f(x)\), para representar la función como una serie de senos. De la misma forma que en ocasiones pasadas:
Como la extensión es impar, tendremos:
\[b_{n}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x\]
Hallando el coeficiente \(b_{n}\), solo debemos sustituir en la serie que encontramos:
\[u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) e^{-\alpha^{2} \pi^{2} n^{2} t / L^{2}}\]
Y tenemos la solución \(u(x, t)\) con representación en serie. ¡Terminamos!
La mala noticia es que los problemas de ecuación de calor son largos. Lo bueno es que todo son iguales, o al menos se parecen.
Casos especiales
Ahora veremos algunos consejos para que puedas ahorrar tiempo a la hora de resolver este tipo de problemas. Si consigues reconocer uno de los siguientes casos especiales.
Decimos que son condiciones de Dirichlet cuando los valores de la función en la frontera son \(X(0)\) y \(X(L)\), mientras que son condiciones de Neumann cuando los valores de las derivadas son \(X^{\prime}(0)\) y \(X^{\prime}(L)\).
Temperatura en los extremos fijados en cero
El primer caso es el que acabamos de ver, cuando tenemos que la temperatura de los extremos siempre es cero, \(u(0, t)=u(L, t)=0\). Eso nos lleva a un problema con condiciones de Dirichlet homogéneas, que es el siguiente:
\[X^{\prime \prime}+\lambda X=0\]
\[X(0)=X(L)=0\]
Su solución es la siguiente:
\[X_{n}(x)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\]
\[\lambda_{n}=\left(\frac{\pi n}{L}\right)^{2} \quad n=1,2,3 \ldots\]
Extremos aislados
Este caso es parecido al anterior. En vez de que la temperatura esté fija en cero en los extremos de la barra, su derivada en relación a \(x\) es cero: \(u_{x}(0, t)=u_{x}(L, t)=0\). Eso ocurre cuando los extremos están aislados, porque no hay flujo de calor pasando por ellos y, por tanto, no hay una variación de temperatura en la dirección \(x\).
Este caso nos lleva a un problema con condiciones de Neumann homogéneas:
\[X^{\prime \prime}+\lambda X=0\]
\[X^{\prime}(0)=X^{\prime}(L)=0\]
Sus soluciones son del tipo:
\[X_{n}(x)=\cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\]
\[\lambda_{n}=\left(\frac{\pi n}{L}\right)^{2} \quad n=1,2,3 \ldots\]
También tenemos la siguiente solución:
\[X_{0}(x)=1\]
\[\lambda_{0}=0\]
No necesitas memorizar todo eso, pero es una buena idea que tengas cierta noción sobre esta solución, porque este problema aparece mucho.
Veamos los pasos para resolver este tipo de problemas:
\(1.\) Decir que la solución es de tipo \(u(x, t)=X(x) T(t)\)
\(2.\) Poner la forma presentada en el primer paso dentro de la ecuación de calor
\(3.\) Separar todo lo que sea función de \(t\) de un lado y lo que sea de \(x\) del otro
\(4.\) Igualar todo a \(-\lambda\)
\(5.\) Obtener las EDO’s separadas: una parte para \(T(t)\) y otra para \(X(x)\)
\(6.\) Sustituir la forma del primer paso en las condiciones de contorno, recordando que no queremos una solución que no nos sirva.
\(7.\) Resolver la EDO que tenga dos condiciones de contorno
\(8.\) Estudiar los casos de \(\Delta\), no podemos tener una solución inutil (aquí obtenemos los autovalores \(\lambda\), y las autofunciones)
\(9.\) Resolver la EDO que falta, introduciendo el valor de \(\lambda\) que obtuvimos en el paso 8.
\(10.\) Hacer la combinación lineal de las soluciones obtenidas en el paso 9 (aparecerá la serie de Fourier)
\(11.\) Para obtener \(b_{n}\) debemos resolver la serie de Fourier de la condición inicial.
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