Ecuación de Onda
Introducción: vibración en una cuerda elástica
En esta ocasión vamos a estudiar la propagación de las ondas en una cuerda elástica.
Imagina que entras a clases de crossfit. Uno de los ejercicios que tiene que realizar es agitar una cuerda (arriba y abajo), haciendo que exprese el siguiente movimiento.
Justo en ese momento recuerdas tus clases de movimiento oscilatorio, y empiezas a reflexionar sobre la altura que alcanza la cuerda en cada instante.
Si tomas una foto en cualquier instante \(t\) y pones el movimiento en un gráfico, tendrás algo así:
Pues bien, vamos a decir que \(u(x, t)\) es la altura de un punto \(x\) de la cuerda en un instante \(t\). Entonces, cuando tenemos una situación como esta, podemos modelar la altura \(u(x, t)\) de la cuerda en una ecuación diferencial parcial como la siguiente:
\[a^{2} u_{x x}=u_{t t}\]
Donde tenemos la segunda derivada de \(x\left(u_{x x}\right)\) asociada a la segunda derivada de \(t\left(u_{i t}\right)\) por una constante.
La constante \(a>0\) depende de la tensión de la cuerda y de su densidad lineal. No te preocupes, al final será dada por el problema.
Esa es la ecuación de onda para \(1\) dimensión, porque la cuerda es un objeto que vibra solamente en la dirección \(x\). Las olas del mar, por ejemplo, se dan en \(3\) dimensiones.
Ten en cuenta que la amplitud \(u\) es la función tanto de la posición del punto \(x\) como la del tiempo \(t\). Esto ocurre porque en cada punto \(x\) tiene una altura distinta, y cada “foto” en un tiempo \(t\) también tendrá un perfil diferente.
Problemas típicos
Bien, ahora vamos a lo que nos interesa: los problemas de propagación de ondas.
Un problema típico es encontrar la altura de los puntos de la cuerda, dado a la ecuación diferencial de onda y otras \(3\) ecuaciones (que veremos que son condiciones de contorno):
\[a^{2} u_{x x}=u_{t t}\]
\[u(0, t)=u(L, t)=0\]
\[u_{t}(x, 0)=0\]
\[u(x, 0)=g(x)\]
Entonces, antes de comenzar a resolver, vamos a verificar cuales son esas ecuaciones, porque básicamente estarán presentes en todo problema típico de cuerdas como este:
\[a^{2} u_{x x}=u_{t t}\]
Es la ecuación diferencial de onda. Luego tenemos,
\[u(0, t)=u(L, t)=0\]
Esas son las condiciones de contorno que nos dicen la altura en el punto inicial es \(x=0\) y en el punto final \(x=L\) en cualquier intervalo de tiempo y siempre es \(0\).
Para el problema de onda, necesitamos dos condiciones más: la velocidad inicial \(u_{t}(x, 0)\) y la posición inicial \(u(x, 0)\) a lo largo de la cuerda. En este ejemplo, tenemos un problema de velocidad inicial \(0\):
\[u_{t}(x, 0)=0\]
Y la posición inicial dada como una función \(g(x)\) cualquiera:
\[u(x, 0)=g(x)\]
Pero no sería raro que te diera una velocidad inicial no nula, tipo \(u_{t}(x, 0)=f(x)=x^{2}\). No te asustes, veremos un ejemplo más adelante.
¡Ahora sí, vamos a resolver el problema!
Velocidad inicial cero (posición inicial dada)
Como vimos, este caso ocurre cuando \(u_{t}(x, 0)=0\). Es exactamente el problema anterior:
\[a^{2} u_{x x}=u_{t t}\]
\[u(0, t)=u(L, t)=0\]
\[u_{t}(x, 0)=0\]
\[u(x, 0)=g(x)\]
Recuerda, lo que buscamos es encontrar una expresión para \(u(x, t)\). Veamos los pasos a seguir:
Paso 1: separación de variables, vamos a escribir la ecuación de esta forma,
\[u(x, t)=X(x) . T(t)\]
Aplicando eso en la ecuación de onda, tenemos:
\[a^{2} X^{\prime \prime}(x) \cdot T(t)=X(x) \cdot T^{\prime \prime}(t)\]
Pasando todo lo que tiene \(x\) a un lado y todo lo que tiene \(t\) a otro, las razones deben ser independientes tanto de \(x\) como de \(t\), entonces podemos decir que eso es igual a una constante:
\[\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=\frac{1}{a^{2}} \frac{T^{\prime \prime}(t)}{T(t)}=-\lambda\]
En este caso, estamos diciendo que la constante es \(-\lambda\) para simplificar las verificaciones luego, pero si no lo recuerdas, puedes igualar a cualquier constante (no sé, como... la constante \(C\)), lo importante es igualar a una constante.
Separando la igualdad en 2 ecuaciones, tenemos:
\[X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0\]
\[T^{\prime \prime}(t)+\lambda a^{2} T(t)=0\]
Obtenemos dos EDO’s de segundo orden luego de separar las variables.
Ahora vamos a aplicar la separación para las condiciones del problema:
\[u(0, t)=0 \quad \rightarrow \quad X(0) \cdot \underbrace{T(t)}_{\neq 0}=0 \quad \rightarrow \quad X(0)=0\]
Si tuviéramos \(T(t)=0\), entonces encontraríamos una solución inservible para el problema, porque como \(u(x, t)=X(x) \cdot T(t)\), entonces \(u(x,t)=0\) (lo cual no nos interesa). Por tanto, concluimos que \(X(0)=0\). Lo mismo ocurre aquí:
\[u(L, t)=0 \quad \rightarrow \quad X(L) \cdot \underbrace{T(t)}_{\neq 0}=0 \quad \rightarrow \quad X(L)=0\]
También tenemos:
\[u_{t}(x, 0)=0 \quad \rightarrow \quad \underbrace{X(x)}_{\neq 0} \cdot T^{\prime}(0)=0 \quad \rightarrow \quad T^{\prime}(0)=0\]
Siempre dejamos de último la condición que posee una función. En este caso, \(u(x, 0)=g(x)\), así que por ahora olvídate de ella.
Debemos hallar \(X(x)\) y \(T(t)\), para encontrar \(u(x, t)=X(x) \cdot T(t)\) y tenemos lo siguiente para esas dos funciones (poniendo todo lo que encontramos de esta forma):
\[\left\{\begin{array}{c}X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0 \\ X(0)=X(L)=0 \\ T^{\prime \prime}(t)+\lambda a^{2} T(t)=0 \\ T^{\prime}(0)=0\end{array}\right.\]
Paso 2: resolver el problema que tiene dos condiciones (de contorno).
Entonces, vamos a resolver el problema de valores de contorno en \(x\), porque es el que tiene \(2\) condiciones:
\[\left\{\begin{array}{c}X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0 \\ X(0)=X(L)=0\end{array}\right.\]
Ese es un problema de Dirichlet homogéneo, ¿verdad? Sabemos que sus soluciones son del tipo:
\[X_{n}(x)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\]
\[\lambda_{n}=\left(\frac{\pi n}{L}\right)^{2} \quad n=1,2,3 \ldots\]
Si lo olvidaste o todavía no has visto cómo resolver un problema de Dirichlet, no te preocupes. En los ejercicios lo haremos juntos nuevamente. Solo que no lo veremos aquí, para que la teoría no se torne aburrida.
Paso 3: teniendo los valores de \(\lambda_{n}\), resolver la otra EDO.
Ahora vamos a resolver el problema en \(t\), tenemos:
\[\left\{\begin{array}{c}T^{\prime \prime}(t)+\lambda a^{2} T(t)=0 \\ T^{\prime}(0)=0\end{array}\right.\]
En comparación con el problema de calor, en este paso encontrábamos una EDO de \(1^{º}\) orden, mientras que aquí una de \(2^{º}\) do.
Vamos a resolver a través del método de la ecuación característica. Ten en cuenta que, como el valor de \(\lambda\) es conocido (del paso anterior) y \(a\) es un coeficiente dado, no necesitamos analizar los \(3\) casos de \(\Delta\), mira:
\[r^{2}+\lambda a^{2}=0\]
\[r=\pm \sqrt{-\underbrace{\lambda a^{2}}_{>0}}\]
Recuerda que, tanto \(a\) (por su definición) como \(\lambda\) (que encontramos en el paso anterior) son positivos, por tanto, lo que está dentro de la raíz es negativo, \(\Delta<0\) Podemos reescribir \(r\) como:
\[r=0 \pm i \sqrt{\lambda a^{2}}\]
Las soluciones de la EDO son del tipo:
\[T(t)=c_{1} \cos \sqrt{\lambda a^{2}} t+c_{2} \operatorname{sen} \sqrt{\lambda a^{2}} t\]
Usando \(T^{\prime}(0)=0\), tenemos:
\[T^{\prime}(t)=-c_{1} \sqrt{\lambda a^{2}} \operatorname{sen} \sqrt{\lambda a^{2}} t+c_{2} \sqrt{\lambda a^{2}} \cos \sqrt{\lambda a^{2}} t\]
\[T^{\prime}(0)=c_{2} \underbrace{\sqrt{\lambda a^{2}}}_{\neq 0}=0 \quad \rightarrow \quad c_{2}=0\]
Haciendo:
\[\lambda_{n}=\left(\frac{\pi n}{L}\right)^{2}\]
Entonces, tenemos:
\[T_{n}(t)=\cos \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\]
Por tanto, podemos escribir lo siguiente:
\[u_{n}(x, t)=X_{n}(x) \cdot T_{n}(t) \rightarrow\]
\[u_{n}(x, t)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cos \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\]
Paso 4: escribir \(u(x,t)\) como una serie y hallar los coeficientes de la serie:
La \(u_{n}\) que encontramos es una fórmula general de soluciones que atiende a la EDO en \(x\) y la EDO en \(t\). También sabemos, por la propia definición de las autofunciones, que los múltiplos de la solución o combinaciones lineales de soluciones de este tipo también satisfacen las EDO’s.
El anterior párrafo solo nos quiere decir que debemos escribir lo siguiente:
\[u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cos \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\]
Podemos interpretar la serie como una combinación lineal infinita de \(u_{n}\)’s.
Ahora debemos usar la condición del problema que dejamos de lado para encontrar \(b_{n}\): \(u(x,0) = g(x)\), Haciendo \(t=0\), tenemos:
\[u(x, 0)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)=g(x)\]
Como esa es una serie de Fourier de senos, haciendo una extensión impar de \(g(x)\), podemos decir:
\[b_{n}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L} g(x) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x\]
¿Recuerdas? Entonces, luego de integrar, basta con sustituir en:
\[u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cos \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\]
Y esa es la solución al problema de onda en donde la velocidad es cero. En la respuesta tenemos un seno y un coseno (respuesta oscilatoria como esperábamos).
Posición inicial cero (velocidad inicial dada)
Ahora veremos el otro caso especial, tenemos \(u(x,0)=0\), en el siguiente problema:
\[a^{2} u_{x x}=u_{t t}\]
\[u(0, t)=u(L, t)=0\]
\[u_{t}(x, 0)=f(x)\]
\[u(x, 0)=0\]
Ten en cuenta que, en este caso, la velocidad inicial es una función de \(x\) conocida.
Paso 1: separación de variables
El primer paso es el mismo, aplicando la separación de variables, vamos a encontrar las siguiente ecuaciones:
\[X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0\]
\[T^{\prime \prime}(t)+\lambda a^{2} T(t)=0\]
Para las coordenadas en \(x\):
\[u(0, t)=0 \quad \rightarrow \quad X(0) \cdot \underbrace{T(t)}_{\neq 0}=0 \quad \rightarrow \quad X(0)=0\]
\[u(L, t)=0 \quad \rightarrow \quad X(L) \cdot \underbrace{T(t)}_{\neq 0}=0 \quad \rightarrow \quad X(L)=0\]
Aquí tenemos una pequeña diferencia:
\[u(x, 0)=0 \quad \rightarrow \quad \underbrace{X(x)}_{\neq 0} \cdot T(0)=0 \quad \rightarrow \quad T(0)=0\]
Por último, dejamos la condición que involucra una función, en este caso, \(u_(t)(x,0)=f(x)\).
Ahora debemos hallar \(X(x)\) y \(T(t)\), para encontrar \(u(x,t)=X(x) \cdot T(t)\). Tenemos lo siguiente para esas dos funciones:
\[\left\{\begin{array}{c}X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0 \\ X(0)=X(L)=0 \\ T^{\prime \prime}(t)+\lambda a^{2} T(t)=0 \\ T(0)=0\end{array}\right.\]
Paso 2: resolver el problema que tiene dos condiciones (de contorno)
Este paso también es el mismo, entonces vamos a resolver el problema de valores de contorno en \(x\):
\[\left\{\begin{array}{c}X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0 \\ X(0)=X(L)=0\end{array}\right.\]
Sus soluciones son:
\[X_{n}(x)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\]
\[\lambda_{n}=\left(\frac{\pi n}{L}\right)^{2} \quad n=1,2,3 \ldots\]
Paso 3: teniendo los valores \(\lambda_{n}\), resolver la otra EDO
Vamos a resolver el problema en \(t\), tenemos:
\[\left\{\begin{array}{c}T^{\prime \prime}(t)+\lambda a^{2} T(t)=0 \\ T(0)=0\end{array}\right.\]
Como vimos, la solución general es la siguiente:
\[T(t)=c_{1} \cos \sqrt{\lambda a^{2}} t+c_{2} \operatorname{sen} \sqrt{\lambda a^{2}} t\]
Usando \(T(0)=0\), tenemos:
\[T(0)=c_{1}=0\]
Haciendo:
\[\lambda_{n}=\left(\frac{\pi n}{L}\right)^{2}\]
Entonces tenemos:
\[T_{n}(t)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\]
Entonces, podemos escribir lo siguiente:
\[u_{n}(x, t)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\]
Paso 4: escribir \(u(x,t)\) como una serie:
Tenemos que:
\[u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\]
Ahora vamos a usar la condición que no determinamos anteriormente, \(b_{n}\): \(u_{t}(x, 0)=f(x)\). Recuerda que tenemos que calcular la derivada de \(u(x,t)\) en relación a \(t\) primero:
\[u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi a t}{L}\right) \rightarrow\]
Para ello, basta con recordar que \(b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\) es constante ante \(t\). Mientras tanto, la derivada de \(\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\) es igual a \(\left(\frac{n \pi a}{L}\right) \cdot \cos \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\)
\[u_{t}(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\left(\frac{n \pi a}{L}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cos \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\]
Haciendo \(t=0\):
\[u_{t}(x, 0)=\sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\left[b_{n}\left(\frac{n \pi a}{L}\right)\right]}_{\text {coef. da série }} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)=f(x)\]
Observa que el coeficiente de los términos de esa serie es todo lo que está en los corchetes. Lo que depende solo de \(n\) (no de \(x\)). Como esa una serie de Fourier de senos, haciendo una extensión impar de \(f(x)\), podemos decir que:
\[b_{n}\left(\frac{n \pi a}{L}\right)=\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x\]
\[b_{n}=\frac{2}{n \pi a} \int_{0}^{L} f(x) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x\]
De esa forma encontramos los coeficientes \(b_{n}\) de la serie. Entonces, sustituimos en:
\[u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\]
Esa es la solución general para el caso en el que la posición inicial es cero.
Ten en cuenta que \(b_{n}\) para cuando la posición inicial es cero es diferente al \(b_{n}\) para cuando la velocidad inicial es cero, a pesar del mismo término. ¡No te confundas!
Caso general de onda
Pero, ¿qué sucede si ni la velocidad ni la posición inicial son cero? ¿Qué hacemos? El caso general del problema de onda es el siguiente:
\[a^{2} u_{x x}=u_{t t}\]
\[u(0, t)=u(L, t)=0\]
\[u_{t}(x, 0)=f(x)\]
\[u(x, 0)=g(x)\]
Ya vimos dos casos, uno donde la función \(g(x)\) era \(0\)… Y otro donde la función \(f(x)\) era \(0\). Pues, la idea es usar los dos problemas para resolver este.
Tu: “¿Qué quieres decir con utilizar ambos problemas?”
Respuesta: en este caso usaremos algo llamado superposición. Imagina que \(z\) es la solución del caso en donde la velocidad es cero y \(w\) es la solución del caso en el que la posición es cero:
\[\begin{array}{c}\boldsymbol{P R O B L E M A} \space 1: \text {Velocidad } 0 \\ a^{2} z_{x x}=z_{t t} \\ z(0, t)=z(L, t)=0 \\ z_{t}(x, 0)=0 \\ z(x, 0)=g(x)\end{array}\]
\[\begin{array}{c}\boldsymbol { PROBLEMA} \space 2 : \text{Posición } 0\\ a^{2} w_{x x}=w_{t t} \\ w(0, t)=w(L, t)=0 \\ w_{t}(x, 0)=f(x) \\ w(x, 0)=0\end{array}\]
La solución del problema \(1\) es:
\[z(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cos \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\]
Mientras que la del problema \(2\) es:
\[w(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} d_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi a t}{L}\right)\]
Podemos entender el caso general de onda como la suma de esos 2 estados: este es el principio de superposición:
\[u(x, t)=z(x, t)+w(x, t)\]
Por tanto, para el caso general del problema de onda, tenemos que encontrar la solución de esos 2 casos y sumar.
Si, es bastante tedioso, por ello, este caso no suele aparecer en los exámenes, pero si aparece, sabrás qué hacer.
Comentario: en esta ocasión vimos cómo resolver problemas de onda en el que la cuerda tiene extremos fijos \(u(0,t)=u(L,t)=0\), que es lo más común. Pero también existe el caso en donde uno de los extremos está suelto.
Los pasos son exactamente los mismos. Lo que cambia son las condiciones de contorno de los problemas que vamos a encontrar. Cuando uno de los extremos está suelto, la condición que debe ser atendida es:
\[u_{x}(0, t)=0\]
O
\[u_{x}(L, t)=0\]
Porque la onda mantiene su forma a lo largo del eje \(x\), no es como en la cuerda con extremos fijos, que la amplitud varía a lo largo del eje. Cuando un extremo está suelto, la onda se mueve a lo largo del eje \(x\) con la misma forma:
Veamos los pasos:
\(1.\) Decir que la solución es del tipo \(u(x,t)=X(x)T(t)\)
\(2.\) Colocar la forma presentada en el paso \(1\) dentro de la ecuación de onda.
\(3.\) Separar todo lo que sea función de \(t\) a un lado y lo que sea función de \(x\) de otro
\(4.\) Igualar todo a \(-\lambda\)
\(5.\) Obtener las EDO’s separadas: una para \(T(t)\) y otra para \(X(x)\)
\(6.\) Sustituir la forma del paso \(1\) en las condiciones de contorno, recordando que no queremos una solución que no nos sirva.
\(7.\) Resolver la EDO que tenga dos condiciones de contorno
\(8.\) Estudiar los casos de \(\Delta\), no podemos tener una solución inútil. (En este paso obtenemos los autovalores, \(\lambda\) y las autofunciones)
\(9.\) Resolver la EDO que falta, introduciendo el valor de \(\lambda\) que obtuviste en el paso \(8\).
\(10.\) Hacer la combinación lineal de las soluciones obtenidas en el paso \(9\) (aparecerá una serie de Fourier)
\(11.\) Para obtener \(b_{n}\), resolver la serie de Fourier de la condición inicial.
¡Vamos a los ejercicios!
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