Ecuación de Laplace en regiones infinitas
Introducción
Hasta ahora sólo hemos las aplicaciones de la EDP para regiones finitas ¿cierto? ¿Y qué pasa con las regiones infinitas? ¿Es posible modelar usando EDPs? Pues sí, veremos que es más sencillo de lo que piensas.
En esta ocasión estudiaremos la ecuación de Laplace para regiones infinitas. No te asustes, verás que las diferencias básicamente están en las condiciones de contorno.
Anteriormente, vimos que la ecuación de Laplace para regiones bidimensionales tiene la siguiente forma:
\[u_{xx}+u_{yy}=0\]
Entonces, ¿cuál es la diferencia? Ya no tendremos un rectángulo, sino una región semejante, pero infinita en una de las direcciones, es decir, puede ser infinita en la dirección \(x\) o \(y\).
Debes estarte preguntando cómo resolver este tipo de problemas. Pues bien, a diferencia del caso en regiones finitas, nos podrán proporcionar información sobre los bordes cuando \(x\) o \(y\) tienden al infinito (dependerá del tipo de problema). Es decir, puede ser dado, por ejemplo, el valor para el cual \(u(x,y)\) tiende cuando \(x\) o \(y\) tiende al infinito.
Otro hecho importante es que en este tipo de problemas siempre trabajaremos con la hipótesis de funciones limitadas en el infinito, es decir, el valor de \(X(x)\) o \(Y(y)\) debe ser limitado. Entonces, aunque no nos sea dado el límite de \(u(x,y)\) en el infinito, este valor es obligatoriamente un número infinito.
Para poder entender mejor, veamos la siguiente figura:
Como puedes ver, tenemos una franja semi-infinita en la dirección \(y\). Por tanto, en la resolución de un problema que involucre dicha región, por ejemplo, puede decir cuál es el valor que \(u(x,y)\) tiende cuándo \(y \longrightarrow \infty\).
Método de resolución
Vamos a resolver el ejemplo:
\[u_{xx}+u_{yy}=0\]
\[u(x,0)=f(x)\]
\[u(0,y)=0\]
\[u(a,y)=0\]
\[u(x,y)\longrightarrow 0 \text { cuando } y \longrightarrow \infty\]
\[y>0\]
\[0 \leq x \leq a\]
Esas son las condiciones que da el problema. Recuerda que \(u(x,y) \longrightarrow 0 \text {cuando } \longrightarrow \infty\), es decir, \(u(x,y)\) cuando \(y \longrightarrow \infty\).
Paso 1: separación de variables
Vamos a usar el mismo método de siempre. Debemos encontrar una solución de tipo \(u(x,y)=X(x) \cdot Y(y)\). Como esa solución debe satisfacer la ecuación de Laplace, tenemos:
\[X^{\prime \prime}(x)Y(y)+ X(x)Y^{\prime \prime}(y)=0\]
Ahora pasamos todo lo que tiene \(x\) a un lado y todo lo que tiene \(y\) al otro:
\[\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=-\frac{Y^{\prime \prime}(y)}{Y(y)}=\lambda\]
Así encontramos las siguientes ecuaciones características:
\[X^{\prime \prime}-\lambda X=0\]
\[Y^{\prime \prime} + \lambda Y=0\]
Aplicando la separación de variables para las condiciones del problema:
\[u(a, y)=0 \quad \rightarrow \quad X(a) \underbrace{Y(y)}_{\neq 0}=0 \quad \rightarrow \quad X(a)=0\]
\[u(0, y)=0 \rightarrow \quad X(0) \underbrace{Y(y)}_{\neq 0}=0 \rightarrow X(0)=0\]
Siempre dejamos de última la condición que es una función, en este caso, \(u(x,0)=f(x)\).
Entonces, tenemos lo siguiente:
\[\left\{\begin{array}{c}X^{\prime \prime}-\lambda X=0 \\ X(0)=0 \\ X(a)=0 \\ Y^{\prime \prime}+\lambda Y=0 \\ u(x, y) \rightarrow 0 \text { cuando } y \rightarrow \infty\end{array}\right.\]
Paso 2: resolver el problema que tiene dos condiciones (de contorno).
Como la función \(X(x)\) es la que posee dos condiciones de contorno, primero vamos a resolver el problema en \(x\), entonces tenemos:
\[\left\{\begin{array}{c}X^{\prime \prime}-\lambda X=0 \\ X(0)=X(a)=0\end{array}\right.\]
Ya vimos este tipo de problema anteriormente, y su solución es:
\[X_{n}(x)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{a} x\right)\]
Si no la recuerdas, no te preocupes, nuevamente te mostraré paso a paso cómo obtener esa solución:
Esta ecuación solo tiene solución para \(\lambda<0\). Entonces podemos decir que \(\lambda=-\mu^{2}\). Por tanto, la ecuación característica de esa EDO es la siguiente:
\[r^{2}+\mu^{2}=0\]
\[r=\pm i \mu\]
Por tanto, la ecuación general es:
\[X(x)=c_{1} \cos (\mu x)+c_{2} \operatorname{sen}(\mu x)\]
Aplicando las condiciones de contorno:
\[X(0)=0 \rightarrow c_{1}=0, \text {porque:}\]
\[c_{1} \underbrace{\cos (0)}_{=1}+c_{2} \underbrace{sen(0)}_{=0}=0\]
Y
\[X(a)=0 \rightarrow \mu=\frac{n \pi}{a},\text {porque:}\]
\[c_{2} \operatorname{senh}(\mu a)=0, \text {que ocurre cuando} \space \mu a=n \pi\]
Por tanto, la solución del problema es:
\[X_{n}(x)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{a} x\right)\]
Como en este problema \(\lambda=-\mu^{2}\), entonces:
\[\lambda_{n}=-\left(\frac{\pi n}{a}\right)^{2} \quad n=1,2,3 \ldots\]
Recuerda que, en los denominadores de \(X\) y \(\lambda\) tenemos \(a\) y no \(L\), porque la condición del problema es \(X(a)=0\). De la misma forma que en los temas anteriores, \(L\) era la longitud de la barra o de la cuerda en \(x\), en este caso, \(a\) es la longitud de lado del rectángulo en \(x\).
Paso 3: teniendo los valores de \(\lambda_{n}\), resolver la otra EDO.
Debemos resolver el problema en \(y\), tenemos:
\[\left\{\begin{array}{c}Y^{\prime \prime}+\lambda Y=0 \\ u(x, y) \rightarrow 0 \text { cuando } y \rightarrow \infty\end{array}\right.\]
La ecuación característica de esa EDO es la siguiente:
\[r^{2}+\lambda=0\]
\[r=\pm \sqrt{-\lambda}\]
Ya vimos que \(\lambda<0\), ¿cierto? Entonces, las soluciones de esa EDO son del tipo:
\[Y(x)=A e^{-\frac{n \pi}{a} y}+B e^{\frac{n \pi}{a} y}\]
Aplicando la condición \(u(x, y) \rightarrow 0\) cuando \(y \rightarrow \infty\), debemos tener cuidado, porque cuando \(y \rightarrow \infty\) el término \(B e^{\frac{n \pi}{a} y}\) tiende al infinito, lo cual no es lo que queremos. Queremos que \(u(x, y) \rightarrow 0\) cuando \(y \rightarrow \infty\). Entonces, \(B\) deberá ser igual a cero y, por tanto, la solución fundamental será:
\[Y_{n}(y)=e^{-\frac{n \pi}{a} y}\]
Entonces, podemos escribir lo siguiente:
\[u_{n}(x, y)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{b}\right) e^{-\frac{n \pi}{a} y}, n=0,1,2,3 \ldots\]
Paso 4: escribir \(u(x, y)\) como una serie y hallar sus coeficientes.
Como las combinaciones lineales de \(u_{n}\) también son soluciones de problema, tenemos que:
\[u(x, y)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{b}\right) e^{-\frac{n \pi}{a} y}\]
Ahora vamos a usar la condición que faltó: \(u(x, 0)=f(x)\).
\[u(x, 0)=\sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{c_{n} \underbrace{e^{-\frac{n \pi}{a} 0}}_{=1}}_{\text {coef. da série }} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{b}\right)=f\bigg(x\bigg)\]
Recuerda que el coeficiente de los términos de esta serie es todo lo que está en el corchete. Es decir, que no depende de \(x\). Reescribiendo, tenemos que:
\[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{b}\right)\]
Si \(f(x)\) y \(f^{\prime}(x)\) son seccionalmente continuas, se trata de una serie de Fourier de senos. Haciendo una extensión impar de \(f(y)\), podemos decir que:
\[c_{n}=\frac{2}{a} \int_{0}^{a} f(x) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{a}\right) d x, n=0,1,2,3 \ldots\]
Ten en cuenta que el período de la extensión es \(2 a\), no \(2 L\). Por eso aparecerán esas \(a\)'s en la integral, ten cuidado. \(a\) viene del denominador del seno. De esta forma, encontramos los coeficientes \(c_{n}\) de la serie. Entonces, sustituimos en:
\[u(x, y)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{a}\right) e^{-\frac{n \pi}{a} y}\]
Y eso es todo, esa es la respuesta. Es parecido a lo que hemos visto, ¿verdad?
Análisis general
Ahora que analizamos las regiones infinitas en un rectángulo, vamos a considerar el caso de la ecuación de Laplace en un disco para regiones infinitas. Nuevamente, será parecido a lo que hemos visto antes, lo que cambiará serán las condiciones de contorno. Antes nos interesaba la parte interior del disco, pero ahora queremos la parte exterior, es decir, una región ilimitada. Recordando la ecuación de Laplace para discos:
\[r^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+r \frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}=0\]
Anteriormente vimos que la función de la temperatura puede ser escrita de la siguiente forma:
\[u(\theta, r)=R(r) \Theta(\theta)\]
Donde \(\Theta(\theta)\), obligatoriamente debe ser de período \(2 \pi\). Por tanto, las únicas funciones posibles son las trigonométricas y la función constante. Cualquier otra función se considera no válida para la resolución del problema. Si no lo recuerdas, no te preocupes, esta parte está bien explicada en el tema anterior.
¿Y la función \(R(r)\)? Como vimos en el tema anterior, esta presenta algunas limitaciones que varían de acuerdo al tipo de problema. En el caso de las regiones infinitas, estas limitaciones serán abordadas en el método de resolución, así que no te preocupes.
Método de resolución
Vamos a resolver el siguiente ejemplo:
\[u(a, \theta)=f(\theta)\]
\[r>a\]
\[0 \leq \theta \leq 2 \pi\]
Es decir, estamos analizando una región infinita de radio \(r>a\).
Debemos suponer que \(u(r, \theta)\) está bien definida y limitada para \(r>a\). (Esta hipótesis será considerada en todos los ejercicios de este tema)
Por tanto, esas son las condiciones del problema. Entonces, ¿cómo lo resolvemos?
Paso 1: separación de variables
Vamos a utilizar el mismo método de siempre. Debemos encontrar una solución de tipo \(u(\theta, r)=R(r) \Theta(\theta)\). Como esta solución debe satisfacer la ecuación de Laplace, tenemos que:
\[r^{2} R^{\prime \prime}(r) \Theta(\theta)+r R^{\prime}(r) \Theta(\theta)+R(r) \Theta^{\prime \prime}(\theta)=0\]
Poniendo \(\Theta(\theta)\) en evidencia, tenemos que:
\[\Theta(\theta)\left(r^{2} R^{\prime \prime}(r)+r R^{\prime}(r)\right)=-R(r) \Theta^{\prime \prime}(\theta)\]
Pasando \(R(r)\) a la izquierda y \(\Theta(\theta)\) a la derecha, encontramos:
\[\frac{r^{2} R^{\prime \prime}(r)+r R^{\prime}(r)}{R}=-\frac{\Theta^{\prime \prime}(\theta)}{\Theta(\theta)}=\lambda\]
Como esa igualdad vale para toda \(r\) y toda \(\theta\), esas razones deben ser iguales a una constante.
Entonces, tendremos que resolver las dos ecuaciones diferenciales:
\[r^{2} R^{\prime \prime}(r)+r R^{\prime}(r)-\lambda R=0\]
\[\Theta^{\prime \prime(\theta)}+\lambda \Theta(\theta)=0\]
Paso 2:
Analizar los \(3\) casos para los valores de \(\lambda\):
Caso 1: \(\lambda<0\)
Si \(\lambda<0\), entonces puede ser escrito de la siguiente forma:
\[\lambda=-\mu^{2}, \text{ donde }\mu>0\]
Así:
\[\Theta^{\prime \prime}(\theta)-\mu^{2} \Theta(\theta)=0\]
La ecuación característica es:
\[r^{2}-\mu^{2}=0\]
Y, por tanto, la solución es:
\[\Theta(\theta)=A e^{\mu \theta}+B e^{-\mu \theta}\]
Si no lo recuerdas, no te preocupes, échale un vistazo a los temas anteriores.
Continuando con la resolución, observamos que no tenemos una función trigonométrica y, por tanto, la función solo será periódica de período \(2 \pi\) si \(A=B=0\). Como esta es la solución incorrecta, \(\lambda\) no puede ser negativa.
Caso 2: \(\lambda=0\)
Para \(\lambda=0\),
\[\Theta^{\prime \prime(\theta)}=0\]
Entonces, \(\Theta(\theta)=c_{1}+c_{2} \theta\)
Para que esta función sea periódica, \(c_{2}\) debe ser igual a cero y, por tanto, tenemos que \(\Theta(\theta)=c_{1}\), es decir, \(\Theta(\theta)\) es una función constante. ¿Recuerdas que al principio dijimos que la función constante es válida como una solución para \(\Theta(\theta)\)?
Vamos a analizar \(\lambda=0\) en la ecuación de \(R(r)\). Como \(\lambda=0\), la ecuación tendrá la siguiente forma:
\[r^{2} R^{\prime \prime}(r)+r R^{\prime}(r)=0\]
Esa es una ecuación de Euler (no te asustes). La solución a esa ecuación es:
\[R(r)=k_{1}+k_{2} \ln (r)\]
Recuerda este resultado. Analizaremos nuevamente \(R(r)\) para el caso en el que \(\lambda=0\).
Caso 3: \(\lambda>0\)
Si \(\lambda>0\), entonces puede ser escrita como: \(\lambda=\mu^{2}\). Sustituyendo en las ecuaciones diferenciales:
\[r^{2} R^{\prime \prime}(r)+r R^{\prime(r)}-\mu^{2} R=0\]
\[\Theta^{\prime \prime(\theta)}+\mu^{2} \Theta(\theta)=0\]
La primera ecuación es una ecuación de Euler. La solución a esa ecuación es:
\[R(r)=k_{1} r^{\mu}+k_{2} r^{-\mu}\]
La ecuación de \(\Theta(\theta)\) es más sencilla, porque estamos acostumbrados a resolverla. Su solución es:
\[\Theta(\theta)=A \operatorname{sen}(\mu \theta)+B \cos (\mu \theta)\]
Sin embargo, \(\Theta(\theta)\) debe ser periódica de período \(2 \pi\). ¿Y cuando ocurre eso?
Debemos tener que \(\Theta(\theta)=\Theta(\theta+2 \pi)\). Para que eso ocurra es necesario que \(\mu\) sea un entero positivo \(n\).
Paso 3:
Ya que sabemos cuales son las soluciones para cada valor de \(\lambda\), debemos analizar lo que dijo el problema. El problema dijo que \(u(r, \theta)\) está bien definida y es limitada para \(r>a\), es decir, para todo \(r>a\), incluso en el infinito y por tanto \(u(r, \theta)\) es limitada cuando \(r \rightarrow \infty\).
Primero, vamos a analizar la ecuación de \(R(r)\) encontrada para \(\lambda=0\):
\[R(r)=k_{1}+k_{2} \ln (r)\]
Cuando \(r \rightarrow \infty\), entonces el término \(k_{2} \ln (r)\) tiende al infinito. Sin embargo, vimos que \(u(r, \theta)\) es limitada en el infinito. Entonces, obligatoriamente, \(k_{2}=0\). Como fue encontrada para \(\Theta(\theta)\), esta será constante para \(\lambda=0\) y \(R(r)\) también es una constante, entonces las soluciones fundamentales para \(\lambda=0\), son:
\[u_{0}(r, \theta)=1\]
Ahora vamos a analizar la siguiente ecuación encontrada para \(\lambda>0\):
\[R(r)=k_{1} r^{\mu}+k_{2} r^{-n}\]
Como \(u(r, \theta)\) es limitada, entonces \(R(r)\) también debe serlo. Como \(\mu\) es un número entero positivo, cuando \(r \rightarrow \infty\) el término \(k_{1} r^{\mu} \rightarrow \infty\), lo cual no puede ocurrir. Por tanto, obligatoriamente, \(k_{1}\) debes ser igual a cero. Ya habíamos encontrado las soluciones de \(\Theta(\theta)\), que son:
\[\Theta(\theta)=A \operatorname{sen}(\mu \theta)+B \cos (\mu \theta)\]
Por tanto, las soluciones fundamentales son:
\[u(r, \theta)=\Theta(\theta) R(r)\]
Sustituyendo:
\[u(r, \theta)=r^{-n} \operatorname{sen}(\mu \theta)\]
\[v(r, \theta)=r^{-n} \cos (\mu \theta)\]
Paso 4:
Asumimos que \(u(r, \theta)\) puede ser escrita como una combinación lineal de soluciones fundamentales. Así:
\[u(r, \theta)=\frac{c_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} r^{-n}\bigg(c_{n} \cos (n \theta)+k_{n} \operatorname{sen}(n \theta)\bigg)\]
Estamos a punto de terminar. Sólo nos queda determinar los coeficientes de la serie de Fourier. Para ello, utilizaremos un dato proporcionado por el problema:
\[u(a, \theta)=f(\theta)\]
Sustituyendo \(r\) por \(a\), tenemos que:
\[u(a, \theta)=\frac{c_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a^{-n}\bigg(c_{n} \cos (n \theta)+k_{n} \operatorname{sen}(n \theta)\bigg)=f(\theta), 0<\theta<2 \pi\]
De donde concluimos que:
\[a^{-n} c_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2} f(\theta) \cos n \theta, \quad n=1,2,3 \ldots\]
\[a^{-n} k_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2} f(\theta) \operatorname{sen}n \theta, \quad n=1,2,3 \ldots\]
Hay un error?
Ir al Siguiente Capitulo: Ecuación de Laplace para un disco
Todos los Resúmenes
