Ecuación de calor - No homogénea

Introducción

¡Bienvenidos, espero que estén genial! 

En el tema anterior vimos la Ecuación de calor - homogénea:

\[\alpha^{2} u_{x x}=u_{t} \quad, donde \quad 0 \leq x<L \quad y \quad t>0\]

\[\boldsymbol{u}(0, \boldsymbol{t})=0\]

\[\boldsymbol{u}(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{t})=0\]

\[u(x, 0)=f(x)\]

Donde las condiciones iniciales en las puntas de la barra son nulas (temperaturas iguales a cero en todos los instantes de tiempo en la punta \(x=0\) y \(x=L\))

Imagina un problema en donde las temperaturas iniciales sean diferentes de \(0\) y sin las constantes \(T_{1}\) y \(T_{2}\). Se trata de un problema no homogéneo:

\[\alpha^{2} u_{x x}=u_{t} \quad, donde \quad 0 \leq x<1 \quad y \quad t>0\]

\[\boldsymbol{u}(0, \boldsymbol{t})=\boldsymbol{T}_{1}\]

\[\boldsymbol{u}(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{t})=\boldsymbol{T}_{2}\]

\[u(x, 0)=f(x)\]

Este problema también es llamado Problema de Dirichlet no homogéneo. Para resolverlo tenemos que aplicar un poco de filosofía matemática. 

Respuesta estacionaria  

Existen dos puntos en la barra que siempre (independientemente del tiempo) tendrán la misma temperatura y que son diferentes entre sí… los extremos. Como sabemos, con el tiempo, la temperatura en la barra tiende a estancarse (sin flujo de calor), pero si dos puntos que son diferentes entre sí siempre poseen la misma temperatura (\(T_{1}\) y \(T_{2}\)), la temperatura que está “estancada” no puede ser la misma en todos los puntos de la barra como ocurría en la homogénea, sino \(T_{1}\) y \(T_{2}\) también serían iguales, lo cual no tendría sentido.

Entonces, ¿cuál será la temperatura en todos los puntos después de un intervalo de tiempo muy grande?

Para responder esa pregunta, imaginemos que el tiempo es infinito y, por tanto, el tiempo deja de ser variable en la temperatura \(u(x, t)\) de la barra. Podemos decir que la temperatura en esas condiciones es 

\[\lim _{t \rightarrow \infty} u(x, t)=v(x)\]

\(v(x)\) es conocida como la respuesta estacionaria del calor.

Para encontrarla, si \(v(x)\) describe la temperatura de la barra, esta satisface la ecuación del calor:

\[\alpha^{2} v_{x x}=v_{t}\]

Como \(v(x)\) solo depende de \(x\):

\[v_{t}=\frac{\partial v(x)}{\partial t}=0\]

Entonces:

\[\alpha^{2} v_{x x}=0 \quad \rightarrow \quad v_{x x}=0\]

Donde \(v_{x x}=v^{\prime \prime}(x)\)

\[v^{\prime \prime}(x)=0\]

Resolviendo esa EDO integrando de ambos lados dos veces, obtendremos:

\[v(x)=a x+b\]

Claro, esa solución tiene que atender las condiciones de contorno (las puntas tienen que tener la misma temperatura desde el inicio del proceso hasta el final):

\[\boldsymbol{u}(0, \boldsymbol{t})=\boldsymbol{T}_{1} \quad \rightarrow \quad \boldsymbol{v}(0)=\boldsymbol{T}_{1}\]

\[\boldsymbol{u}(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{t})=\boldsymbol{T}_{2} \quad \rightarrow \quad \boldsymbol{v}(\boldsymbol{L})=\boldsymbol{T}_{2}\]

Ahora vamos a sustituir eso en la fórmula general de \(v(x)\) que encontramos

\[v(0)=T_{1}=b\]

\[v(L)=T_{2}=a L+b \quad \rightarrow \quad a=\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\]

\[v(x)=\frac{T_{2}-T_{1}}{L} x+T_{1}\]

Y listo, esa es la expresión de \(v(x)\).

Respuesta transitoria

Hasta ahora hemos visto la respuesta de lo que ocurre el tiempo es tan grande que deja de ser una variable (solución estacionaria), ¿pero qué pasaría si siguiera siendo una variable? ¿cómo será la respuesta? En este caso, decimos que estamos trabajando con la respuesta transitoria \(w(x, t)\) y esta depende tanto del tiempo como de la posición. 

Para encontrarla, debes tener en mente que la respuesta final de la temperatura de la barra siempre es \(u(x, t)\) dada por la suma de la respuesta transitoria con la estacionaria:

\[u(x, t)=w(x, t)+v(x)\]

Vamos a sustituir esa definición de \(u(x, t)\) en las condiciones del problema:

\[\alpha^{2} u_{x x}=u_{t} \quad \rightarrow \quad \alpha^{2}[\underbrace{v^{\prime \prime}(x)}_{0}+w_{x x}]=\underbrace{\frac{d}{d t} v(x)}_{0}+w_{t} \quad \rightarrow \quad \alpha^{2} w_{x x}=w_{t}\]

Además… para las condiciones de contorno, tendremos…

\[u(0, t)=T_{1} \quad \rightarrow \quad \underbrace{v(0)}_{T_{1}}+w(0, t)=T_{1} \quad \rightarrow \quad w(0, t)=0\]

\[u(L, t)=T_{2} \quad \rightarrow \quad \underbrace{v(L)}_{T_{2}}+w(L, t)=T_{2} \quad \rightarrow \quad w(L, t)=0\]

El problema de encontrar la solución transitoria es el problema de encontrar la solución de la ecuación de onda homogénea.

\[\left\{\begin{array}{l}\alpha^{2} w_{x x}=w_{t} \\ w(0, t)=0 \\ w(L, t)=0\end{array}\right.\]

Un problema con condiciones de Dirichlet homogéneas. Resolviendo ese problema como vimos en el tema anterior, llegaremos a:

\[w(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) e^{-\alpha^{2} \pi^{2} n^{2} t / L^{2}}\]

Te recomiendo aprenderte esa solución, porque es muy utilizada. 

Pero después de todo, ¿quién es \(b_{n}\)? Deberás encontrarlo usando la última condición:

\[u(x, 0)=f(x)\]

Aquí solo cambia una cosita. Ten en cuenta que la condición es sobre \(u(x, t)\), no sobre \(w(x, t)\). Pero sabemos que \(u(x, t)=v(x)+w(x, t)\), ¿cierto? Entonces vamos usar eso:

\[u(x, t)=v(x)+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) e^{-\alpha^{2} \pi^{2} n^{2} t / L^{2}}\]

Ahora si, podemos usar la condición (recuerda que \(e^{0}=1\)):

\[u(x, 0)=v(x)+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)=f(x)\]

\[\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)=f(x) \quad v(x)\]

Entonces, debemos encontrar \(b_{n}\). Recuerda que esa serie es la representación en senos de la función \([f(x)-v(x)]\) (no solo de \(f(x)\)), entonces, podemos decir que:

\[b_{n}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L}[f(x)-v(x)] \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x \rightarrow\]

Como ya encontramos la expresión de \(v(x)\):

\[b_{n}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L}\left[f(x)-\frac{T_{2}-T_{1}}{L} x+T_{1}\right] \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x \rightarrow\]

De ahí encontramos \(b_{n}\) resolviendo la integral. Entonces, basta con sustituir el coeficiente en:

\[u(x, t)=v(x)+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) e^{-\alpha^{2} \pi^{2} n^{2} t / L^{2}}\]

¡Y listo! Esa será la respuesta del problema. ¡Vamos a intentar resolver algunos problemas en la sección de ejercicios!