EDP's generales

Introducción

 

Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación que involucra funciones de múltiples variables independientes y dependientes de sus derivadas. Estas ecuaciones surgen naturalmente en problemas de física matemática, física e ingeniería, porque pueden describir diversos fenómenos. 

 

En esta ocasión hablaremos sobre las EDP’s generales, veamos el siguiente ejemplo de una EDP que describe una tasa de crecimiento

 

\[\left\{\begin{array}{c}u_{t}=u_{x x}-2 u_{x}, 0<x<L, \quad t>0 \\ u(0, t)=u(L, t)=0, t>0 \\ u(x, 0)=f(x), 0<x<L\end{array}\right.\]

 

Y ahora surge la gran pregunta: ¿Cómo lo resolvemos?

 

Aplicando el método de confianza: separación de variables

 

Método de resolución

 

El método de separación de variables, por si no lo recuerdas, consiste en suponer que la solución de la EDP puede ser escrita como la multiplicación de dos funciones de una única variable:

 

\[u(x,y)=X(x)Y(y)\]

 

Estos son los pasos a seguir:

 

   \(1.\) Hacer la separación de variables

 

   \(2.\) Despejar cada función e igualar a una constante

 

   \(3.\) Verificar las condiciones de contorno

 

   \(4.\) Resolver la primera EDO

 

   \(5.\) Resolver la segunda EDO

 

   \(6.\) Combinar las soluciones encontradas

 

¡Vamos allá!

 

Paso 1: vamos a suponer que la función \(u\) pasa a ser en forma de separación de variables.

 

\[u(x, t)=X(x) T(t)\]

 

Pero antes, debemos entender que significa cada término de la función para luego sustituir en la EDP.

 

\[u_{t}=u_{x x}-2 u_{x}\]

 

Donde \(u_{t}\) es la derivada de \(u\) en función de \(t\); \(u_{x x}\) y \(u_{x}\) es la segunda y primera derivada en función de \(x\).

 

Sustituyendo eso en la EDP,

 

\[u_{t} \rightarrow X(x) T^{\prime}(t)\]

 

Observa que, la parte en \(X(x)\) se mantiene y multiplicamos por la derivada de \(T(t)\). Siguiendo el mismo razonamiento vamos a sustituir los otros términos de la función. Entonces tenemos:

 

\[X(x) T^{\prime}(t)=X^{\prime \prime}(x) T(t)-2 X^{\prime}(x) T(t)\]

 

Paso 2: vamos a poner las funciones de \(x\) a un lado y las de \(t\) al otro (separandolas). Podemos hacerlo porque podemos poner a \(T(t)\) en evidencia:

 

\[X(x) T^{\prime}(t)=\left[X^{\prime \prime}(x)-2 X^{\prime}(x)\right] T(t)\]

 

Pasamos a multiplicar… 

 

\[\frac{T^{\prime}(t)}{T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)-2 X^{\prime}(x)}{X(x)}\]

 

OBS: como en una EDP el lado izquierdo de la ecuación no depende de \(x\) ni el derecho de \(t\), tenemos que ambos lados de la ecuación deben ser iguales a una constante que llamaremos \(-\lambda\)

 

\[\frac{T^{\prime}(t)}{T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)-2 X^{\prime}(x)}{X(x)}=-\lambda\]

 

De allí obtenemos la dos EDOs:

 

\[X^{\prime \prime}-2 X^{\prime}=-\lambda X, T^{\prime}=-\lambda T\]

 

Paso 3: queda por analizar cómo serán las condiciones iniciales en el método de separación de variables. Del problema, sabemos que:

 

\[u(0, t)=u(L, t)=0\]

 

Entonces, como \(u(x, t)=X(x) \cdot T(t) \ldots\)

 

\[X(0) T(t)=X(L) T(t)=0\]

 

Como \(T(t)\) no puede ser una función nula, en caso de que lo fuera tendríamos una solución inservible \((u(x, t)=0)\), tendremos:

 

\[X(0)=X(L)=0\] 

 

Ya tenemos todo para resolver la EDO en \(X\)

 

\[\left\{\begin{array}{l}X^{\prime \prime}-2 X^{\prime}=-\lambda X \\ X(0)=X(L)=0\end{array}\right.\]

 

Esta es la idea: despejar las ecuaciones para conseguir resolver una de las EDOs y luego usar la solución de esa EDO para resolver la otra. Veamos cómo hacerlo:

 

Paso 4: vamos a resolver la primera EDO, comenzando por aquella que tenga más condiciones de contorno

 

\[X^{\prime \prime}-2 X^{\prime}=-\lambda X\]

 

A través de la ecuación característica, vamos a sustituir por \(r\)

 

\[r^{2}-2 r=-\lambda\]

 

Resolviendo esa ecuación de segundo grado, tenemos que

 

\[r=1 \pm \sqrt{1-\lambda}\]

 

Y su delta será

 

\[\Delta=1-\lambda\]

 

Ahora debemos verificar los deltas y hallar el autovalor. Como la idea es entender la solución de la EDP general, no nos conviene hacer un problema de autovalor (eso lo veremos en los ejercicios). Entonces, vayamos directamente a la solución.

 

La solución es la siguiente:

 

\[X_{n}=e^{x} \operatorname{sen}\left(\sqrt{\lambda_{n}-1} x\right)\]

 

Donde… 

 

\[\lambda_{n}=1+\frac{n^{2} \pi^{2}}{L^{2}}, n=1,2, \ldots\]

 

Es decir:

 

\[X_{n}=e^{x} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\]

 

Paso 5: sabiendo cuales son los \(\lambda_{n}\) podremos resolver la EDO de \(t\)

 

\[T^{\prime}=-\lambda T\]

 

\[T^{\prime}+\lambda_{n} T=0\]

 

Podemos resolver esa EDO homogénea de primer orden mediante la ecuación característica (sustituir \(T^{\prime}\) por \(b^{1}\) y \(T\) por \(b^{0}\) o \(1\)):

 

\[b+\lambda_{n}=0\] 

 

\[b=-\lambda_{n}\]

 

Entonces, la solución de la EDO mediante la ecuación característica será:

 

\[T(t)=e^{b t}=e^{-\lambda_{n} t} \rightarrow\]

 

\[T_{n}(t)=e^{-\left(1+\frac{n^{2} \pi^{2}}{L^{2}}\right) t}\]

 

Paso 6: combinando los dos resultados tendremos la solución de la EDP:

 

\[u_{n}(x, t)=X_{n}(x) \cdot T_{n}(t) \rightarrow\]

 

\[u_{n}=e^{x} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cdot e^{-\left(1+\frac{n^{2} \pi^{2}}{L^{2}}\right) t}\]

 

El índice \(n\) sirve para recordarte que esta solamente es una solución. Si variamos \(n\), obtendremos varias funciones que también son soluciones. Entonces, ¿qué hacemos en ese caso? Una combinación lineal de todas ellas. En la práctica, basta con decir que la solución \(u(x, t)\) es:

 

\[u(x, t)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} u_{n}(x, t)=\]

 

\[\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} e^{x} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cdot e^{-\left(1+\frac{n^{2} \pi^{2}}{L^{2}}\right) t}\]

 

Paso 7: dejamos la condición de contorno para el final. La utilizaremos para determinar \(c_{n}\):

 

\[f(x)=u(x, 0)\]

 

Entonces… 

 

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} e^{x} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) e^{0}=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} e^{x} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \rightarrow\]

 

Podemos sacar el exponencial \(x\) de adentro, ya que no depende del índice \(n\) del sumatorio:

 

\[f(x)=e^{x} \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \rightarrow\]

 

\[e^{-x} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\]

 

Debemos hallar los coeficientes de la serie de Fourier usando el método clásico:

 

\[c_{n}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L}\left(e^{x} f(x)\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x\]

 

No te preocupes, porque te darán las funciones \(f\) y \(L\). Solo debemos integrar para descubrir el \(c_{n}\).

 

Usando los coeficientes en la fórmula de \(u\) tendremos la solución de la EDP:

 

\[u(x, t)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} e^{x} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cdot e^{-\left(1+\frac{n^{2} \pi^{2}}{L^{2}}\right) t}\]

 

Sé que el proceso es un poco tedioso pero si sigues los pasos todo saldrá bien. Eso es todo, ¡vamos a los ejercicios!

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