Teorema de Dirichlet (serie de Fourier)

Introducción

Ya sabemos que la serie de Fourier es una representación de funciones \(f(x)\) en forma de suma de senos y cosenos. Pero, ¿será que siempre podemos decir que la serie de Fourier:

\[\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{L}+b_{n} \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L}\right)\]

Es igual a la función \(f(x)\)? Es decir, ¿en cualquier punto \(x\) podemos recuperar el valor de la función tan solo con el sumatorio? 

La respuesta es sí y no al mismo tiempo. Quien responderá esa pregunta será el teorema de convergencia de Fourier. 

Funciones definidas a trozos

Antes de empezar a hablar sobre el teorema, me gustaría que refrescamos nuestros conocimientos acerca de las funciones de este tipo. 

Se dice que una función es definida a trozos (o discontinua por saltos), si en alguno de sus puntos “salta” a otro valor y vuelve a ser contínua luego de eso, veamos un ejemplo:

Observa lo ocurre entre \(t_{1}\) y \(t_{2}\), son todos puntos de discontinuidad por saltos. 

Usualmente, las funciones con las que trabajaremos son funciones periódicas, pero con alguna discontinuidad por saltos. Por ejemplo, la función periódica \(f(x+6)\):

\[f(x)=\left\{\begin{array}{lr}1 & -3<x<-1 \\ 0 & -1<x<1 \\ 1 & 1<x<3\end{array}\right.\]

De período igual a \(6\), puede ser graficada de la siguiente forma:

En ella solo dibujamos dos períodos (uno en rojo y otro en azul), pero es suficiente para notar que es discontinua por saltos.

El teorema en la práctica

El teorema de Dirichlet para la serie de Fourier nos dice que:

“La serie de Fourier es igual a la función \(f(x)\) donde la función \(f\) es contínua”

Bien, entonces en los pedazos continuos, la serie será la propia función en el punto, graficando:

Y en el caso de las discontinuidades, el teorema nos dice que… 

"Pero en los puntos de discontinuidad, la serie asume el valor del punto medio de la discontinuidad.”

Entonces, en \(x=1\), por ejemplo, tenemos una discontinuidad, ¿cierto? Ahora bien, la función es \(0\) (a la derecha) y luego pasa a ser \(1\) (a la izquierda). Y ahí te pregunto, ¿cuál es el punto medio? \(1 / 2\), de acuerdo, ¿no? Al final:

\[\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\]

Generalizando el teorema

De una forma más general, podemos decir que:

“Sea \(f\) una función \(2L\) periódica seccionalmente continua en \([-L, L]\), entonces la serie de Fourier converge para toda \(x\) real y converge de la siguiente forma”

\[\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{L}+b_{n} \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L}\right)=\left\{\begin{array}{c}f(x) \text { si } f \text { es continua en } x \\ \frac{f\left(x_{+}\right)+f\left(x_{-}\right)}{2} \text { si } f \text { es discontinua en } x\end{array}\right.\]

OBS: \(f\left(x_{+}\right)\) y \(f\left(x_{-}\right)\) son los límites laterales de \(f\) en el punto \(x\): \(f\left(x_{+}\right)\) es el límite lateral a la derecha y \(f\left(x_{-}\right)\) el límite lateral a la izquierda.

ATENCIÓN: la serie tiende a \(\frac{f\left(x_{+}\right)+f\left(x_{-}\right)}{2}\) (media de la discontinuidad) solo en puntos de discontinuidad. 

En puntos de discontinuidad, es la propia función. Y en casos de discontinuidad, (como en \(x=1\)), solo debemos tomar el valor de la función a la derecha (\(f\left(x_{+}\right)=1\)), sumar con el de la izquierda (\(f\left(x_{-}\right)=0\)) y dividir por \(2\) (sacar la media):

\[\frac{f\left(x_{+}\right)+f\left(x_{-}\right)}{2}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}\]

¡Vamos a los ejercicios!