Serie compleja de Fourier

Todavía nos falta estudiar un tema relacionado a la serie de Fourier. Existen problemas que nos pedirán la forma compleja de la serie.

¡¿Cómo?! ¡¿Forma compleja?! Si, aquella con unidad imaginaria \(i=\sqrt{-1}\). No temas, la forma compleja hace que la expresión se acorte. Sin más dilación, esta es la forma compleja de la serie de Fourier:

\[\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{L}+b_{n} \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L}\right)=\sum_{n=\infty}^{\infty} c_{n} e^{i w_{n} x}\]

Donde \(w_{n}=\frac{2 \pi n}{L}\) y \(c_{n}\) son los coeficientes de la serie compleja. 

A continuación, veremos cómo se obtiene esa forma compleja:

Forma de Euler

Primero vamos a recordar dos relaciones importantes, llamadas relaciones de Euler:

\[\cos x=\frac{\left(e^{i x}+e^{i x}\right)}{2}\]

\[\operatorname{sen} x=\frac{\left(e^{i x}-e^{i x}\right)}{2 i}\]

Ahora vamos a sustituir en la ecuación de la serie de Euler:

\[\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \frac{\left(e^{i w_{n} x}+e^{i w_{n} x}\right)}{2}+b_{n} \frac{\left(e^{i w_{n} x}-e^{i w_{n} x}\right)}{2 i}\right)\]

Arreglando

\[\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{\left(a_{n}-ib_{n}\right)}{2}e^{iw_{n}}+\frac{\left(a_{n}+ib_{n}\right)}{2}e^{-iw_{n}}\right)\]

Vamos a tomar un descanso para ver una relación con el signo de los coeficientes:

Cálculo de \(a_{-n}\):

\[a_{-n}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{(-n) \pi x}{L} d x=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} d x=a_{n}\]

Entonces:

\[a_{-n}=a_{n}\]

Cálculo de \(b_{n}\):

\[b_{n}=\frac{1}{L} \int_{L}^{L} f(x) \operatorname{sen} \frac{(-n) \pi x}{L} d x=-\frac{1}{L} \int_{L}^{L} f(x) \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L} d x=-b_{n}\]

Entonces:

\[b_{-n}=-b_{n}\]

Ahora vamos a decir que:

\[c_{n}=\frac{a_{n}-i b_{n}}{2}\]

De esta forma, la expresión puede ser escrita como:

\[\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} e^{i w_{n} x}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n} e^{-i w_{n} x}\]

Cambiando \(-n\) por \(n\) en el segundo sumatorio:

\[\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} e^{i w_{n} x}+\sum_{n=-\infty}^{-1} c_{n} e^{i w_{n} x}\]

Observa que:

\[c_{0}=\frac{a_{0}}{2}\]

Entonces:

\[\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} e^{i w_{n} x}+c_{0}+\sum_{n=\infty}^{-1} c_{n} e^{i w_{n} x}\]

Presta atención a lo siguiente: el primer sumatorio va del \(1\) hasta \(\infty\) y el segundo de \(-\infty\) hasta \(-1\). ¿Y el término \(n=0\)? Exacto, es el término \(c_{0}\), porque si \(n=0\) ambos exponenciales serán \(0\) y solo tendremos \(c_{0}\). Por tanto, podemos agrupar todo en un solo sumatorio. 

\[\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} e^{i w_{n} x}+c_{0}+\sum_{n=-\infty}^{-1} c_{n} e^{i w_{n} x}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i w_{n} x}\]

Pues sí, de esa forma es que llegamos a la forma compleja de la serie de Fourier. 

Existe una forma más simple de llegar a \(c_{n}\) sin tener que calcular \(a_{n}\) ni \(b_{n}\). Mira:

\[c_{n}=\frac{1}{2 L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{i w_{n} x} d x\]

Es importante saber que esta forma, a pesar de llamarse compleja, es real, porque es igual a la forma original de Fourier.

¿Cómo se obtiene la forma  \(f(x)\) de \(-L\) a \(L\)?

Supongamos que queremos la forma compleja de la función \(f(x)=x^{2}, x \in(0,2)\) y \(f(t+2)=f(t)\). El primer punto es describir el valor de \(L\). Como el período de la función es \(2\), tenemos:

¿***?

Ahora, vamos al cálculo de \(c_{n}\), usando la fórmula anterior:

\[c_{n}=\frac{1}{2 L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{i w_{n} x} d x \rightarrow \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x^{2} e^{i w_{n} x} d x\]

“¿Cierto? ¡NO, RESPUESTA EQUIVOCADA!” La función solo está definida con la expresión de \(0\) a \(2\). En la integral, estamos diciendo que vale \(x^{2}\), también de \(-1\) a \(0\), lo cual no es cierto.

Para comprobar eso, veamos el gráfico de la función

Son varios brazos de parábola, porque la función es periódica (no lo olvides). Si tomamos \(x=-1 / 2\) tendríamos \(x^{2}=1 / 4\). En el gráfico, notamos que, en realidad, el valor de la función es mayor que \(1 / 4\). Porque la expresión \(x^{2}\) solo vale de \(0\) a \(2\).

Entonces, ¿qué debemos hacer? ¿Estás de acuerdo en que esos brazos no son más que desplazamientos de la función dada en el enunciado? ¿Y cómo desplazamos un gráfico? Si quisiéramos desplazar un gráfico \(a\) unidades a la izquierda, debemos hacer \(f(x+a)\). Si quisiéramos desplazarlo a la derecha, hacemos \(f(x-a)\). 

En este caso, sabemos que de \(0\) a \(2\), \(f(x)=x^{2}\). Queremos obtener la expresión, desplazando el gráfico a la izquierda, sabemos que el desplazamiento corresponde al valor del período. Entonces, la expresión de \(-2\) a \(0\) será:

\[f(x+2)=(x+2)^{2}\]

Y así, podemos escribir lo siguiente:

\[f(x)=\left\{\begin{aligned}(x+2)^{2}, &-2 \leq x<0 \\ x^{2}, & 0 \leq x<2 \end{aligned}\right.\]

Ahora si podemos calcular los coeficientes de la siguiente forma:

\[\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) e^{i w_{n} x} d x=\frac{1}{2} \int_{-1}^{0}(x+2)^{2} e^{i w_{n} x} d x+\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{2} e^{i w_{n} x} d x\]

Dividimos el intervalo de integración en cada parte donde tenemos la expresión de la función. Luego seguimos el mismo procedimiento. ¡Vamos a los ejercicios!