Modelo de la ecuación de calor

Introducción

En temas anteriores hemos visto la ecuación de calor unidimensional, alguna de sus variaciones y cómo resolver su EDP. En esta ocasión veremos su modelo. 

A diferencia de los modelos que vimos en EDO, las de EDP no son tan variadas. La ecuación de calor es una EDP sumamente específica para los casos que hemos estudiado. La diferencia es que cuando trabajamos con modelos el problema no nos dará las ecuaciones para resolverlo, tendremos que encontrarlas.

Primero veremos cómo extraer la ecuaciones y luego algunos consejos claves para resolver ese tipo de problemas. 

Modelo de la ecuación de calor

Veamos la siguiente ecuación:

Considere la conducción de calor en una barra de \(40 \text{cm}\) de longitud, cuyos extremos, izquierdo y derecho se mantienen, respectivamente, a \(0^{\circ} \mathrm{C}\) y a \(80^{\circ} \mathrm{C}\) para \(t>0\). Suponga que inicialmente la temperatura a lo largo de la barra es \(50^{\circ} \mathrm{C}\). Considere \(\alpha^{2}=1\).

Lo primero que debemos tener a la mano es la EDP de calor. 

\[u_{t}=\alpha^{2} u_{x x}\]

También tenemos que recordar que \(u(x, t)\) es una función de dos variables . Lo primero que dice es la longitud de la barra, ¿recuerdas la \(L\) de las ecuaciones? Entonces, la longitud de la barra, en este caso, es \(40 \mathrm{~cm}\).

\[L=40\]

Luego, dice la temperatura de los extremos, la temperatura nos da las siguiente ecuaciones.

\[u(0, t)=0\]

\[u(40, t)=80\]

¿Entiendes? La temperatura en cualquier instante al principio y al final de la barra será esa porque dice que los extremos mantienen esas temperaturas.

Ya tenemos un montón de ecuaciones, pero todavía nos falta una. El enunciado nos dice que al principio, la temperatura en toda la barra es \(50^{\circ} \mathrm{C}\). 

\[u(x, 0)=50\]

Ahora tenemos todas las ecuaciones. Recordando que el enunciado nos dice que \(\alpha^{2}=1\). 

\[\left\{\begin{array}{c}u_{t}=u_{x x} \\ u(0, t)=0 \\ u(40, t)=80 \\ u(x, 0)=50 \quad x \in[0, L]\end{array}\right.\]

Y ahora tenemos que resolver.

En este tema hemos visto frases características de este tipo de problemas, solo nos falta ver el caso donde los extremos de la barra están aislados. Entonces, cuando el problema nos dice que ambos extremos de la barra están aislados, eliminamos las siguientes ecuaciones:

\[u_{x}(0, t)=u_{x}(L, t)=0 \quad t>0\]

Cuando solo uno de los extremos está aislado, tendremos que una de las derivadas será igual a cero. 

¡Vamos a practicar!