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Primera Ley de la Termodinámica en Gases
Trabajo de un gas ideal
El trabajo realizado por un gas puede calcularse de la siguiente forma:
\(W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} p d V\)
Donde \(p\) es la presión que el gas ejerce sobre el cilindro y \(V\) es el volumen ocupado por el gas.
\(V_{i}\) y \(V_{f}\) son, respectivamente, volumen inicial y volumen final.
Como el trabajo se define por la integral de \(p d V\), tenemos que su módulo es exactamente el área sobre el gráfico de \(p \times V\). ¿Pero qué hay del signo?
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Si \(V_{f}>V_{i}\), la integral es positiva. Por lo tanto, el trabajo es positivo. Tiene sentido, porque definimos que el trabajo es positivo cuando hay una expansión!
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Si \(V_{f}<V_{i}\), la integral es negativa. Por lo tanto, el trabajo es negativo. También tiene sentido, porque definimos que el trabajo es negativo cuando hay una contracción!
Nota: Tenga en cuenta que el trabajo depende de la ruta, ya que es el área sobre la curva!
Así que ahora veamos cómo calcular el trabajo en cuatro procesos: isobárico, isovolumétrico, isotérmico y adiabático.
¿Vamos?
Proceso isobárico
En este proceso: \(p_{1}=p_{2}\)
Es decir, la presión es constante.
Entonces:
\(W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} p d V\)
\(\Rightarrow W=p \int_{V_{1}}^{V_{2}} d V\)
\(\Rightarrow W=p\left(V_{2}-V_{1}\right)\)
\(\Rightarrow W=p \Delta V\)
En el gráfico es fácil de ver. Es el área del rectángulo:
Proceso isovolumétrico
En este proceso: \(V_{1}=V_{2}\)
Si no hay variación de volumen, es fácil darse cuenta que no hay trabajo siendo realizado, pues no hay movimiento del émbolo.
Por la integral:
\(W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} p d V=0\)
porque \(d V=0\)
Y por el gráfico, también es fácil darse cuenta de que el “área” debajo de la curva es cero:
Proceso isotérmico
En este proceso: \(T_{1}=T_{2}\)
Es decir, \(T\) es constante
\(W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} p d V\)
Ahora, necesitamos determinar \(p\) en función de \(V\) para calcular la integral.
Por la ecuación del gas ideal:
\(p V=n R T= constante\)
pues \(n\), \(R\) y \(T\) son constantes.
\(\Rightarrow p=\frac{n R T}{V}\)
Reemplazando en la integral y haciendo los cálculos:
\(W=n R T \ln \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\)
Nota:
Por la ecuación de los gases ideales
\(p_{1} V_{1}=p_{2} V_{2}=n R T\)
Gráficamente:
Proceso adiabático
Los procesos adiabáticos son aquellos en los que no hay variación de calor.
En este proceso: \(Q=0\)
Por la Primera Ley:
\(Q=\Delta U+W\)
Entonces:
\(0=\Delta \mathrm{U}+W\)
\(\Rightarrow W=-\Delta U\)
En ese caso, sólo hay que sustituir \(\Delta U\), que ya sabemos calcular.
En el proceso adiabático, funciona la ecuación:
\(p V^{\gamma}=\text { constante }\)
Es decir:
\(p_{1} V_{1}^{\gamma}=p_{2} V_{2}^{\gamma}\)
A través de esa ecuación y de la ecuación general de los gases, logramos llegar a estas otras dos relaciones:
\(T_{1} \cdot V_{1}^{\gamma-1}=T_{2} \cdot V_{2}^{\gamma-1}\)
\(T_{1}^{\gamma} \cdot P_{1}^{1-\gamma}=T_{2}^{\gamma} \cdot P_{2}^{1-\gamma}\)
El exponente \(\gamma\) se define de la siguiente manera:
\(\gamma=\frac{c_{p}}{c_{v}}\)
¿Pero cómo vamos a calcular esa relación?
La relación entre \(c_{p}\) y \(c_{v}\) viene dada por:
\(c_{p}=c_{v}+R\)
Donde \(R\) es la constante universal de los gases
Y \(c_{v}\) viene dada por:
\(c_{v}=\frac{g}{2} R\)
Haciendo las cuentas, podemos encontrar el siguiente resultado, que es lo que importa:
¿Cool? ¡Wow, mucha cosa! Pero relájate: ¡haciendo los ejercicios todo se vuelve más fácil!
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