Primera Ley de la Termodinámica en Gases

Trabajo de un gas ideal

El trabajo realizado por un gas puede calcularse de la siguiente forma:

\(W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} p d V\)

Donde \(p\) es la presión que el gas ejerce sobre el cilindro y \(V\) es el volumen ocupado por el gas. 

\(V_{i}\) y \(V_{f}\) son, respectivamente, volumen inicial y volumen final.

Como el trabajo se define por la integral de \(p d V\), tenemos que su módulo es exactamente el área sobre el gráfico de \(p \times V\). ¿Pero qué hay del signo?

• Si \(V_{f}>V_{i}\), la integral es positiva. Por lo tanto, el trabajo es positivo. Tiene sentido, porque definimos que el trabajo es positivo cuando hay una expansión!

• Si \(V_{f}<V_{i}\), la integral es negativa. Por lo tanto, el trabajo es negativo. También tiene sentido, porque definimos que el trabajo es negativo cuando hay una contracción!

Nota: Tenga en cuenta que el trabajo depende de la ruta, ya que es el área sobre la curva!

Así que ahora veamos cómo calcular el trabajo en cuatro procesos: isobárico, isovolumétrico, isotérmico y adiabático.

¿Vamos?

Proceso isobárico

En este proceso: \(p_{1}=p_{2}\)

Es decir, la presión es constante.

Entonces: 

\(W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} p d V\)

\(\Rightarrow W=p \int_{V_{1}}^{V_{2}} d V\)

\(\Rightarrow W=p\left(V_{2}-V_{1}\right)\)

\(\Rightarrow W=p \Delta V\)

En el gráfico es fácil de ver. Es el área del rectángulo:

Proceso isovolumétrico

En este proceso: \(V_{1}=V_{2}\)

Si no hay variación de volumen, es fácil darse cuenta que no hay trabajo siendo realizado, pues no hay movimiento del émbolo.

Por la integral:

\(W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} p d V=0\) 

porque \(d V=0\)

Y por el gráfico, también es fácil darse cuenta de que el “área” debajo de la curva es cero:

Proceso isotérmico

En este proceso: \(T_{1}=T_{2}\)

Es decir, \(T\) es constante 

\(W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} p d V\)

Ahora, necesitamos determinar \(p\) en función de \(V\) para calcular la integral.

Por la ecuación del gas ideal:

\(p V=n R T= constante\)

pues \(n\), \(R\) y \(T\) son constantes.

\(\Rightarrow p=\frac{n R T}{V}\)

Reemplazando en la integral y haciendo los cálculos:

\(W=n R T \ln \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\)

Nota:

Por la ecuación de los gases ideales

\(p_{1} V_{1}=p_{2} V_{2}=n R T\)

Gráficamente:

Proceso adiabático

Los procesos adiabáticos son aquellos en los que no hay variación de calor.

En este proceso: \(Q=0\)

Por la Primera Ley:

\(Q=\Delta U+W\)

Entonces:

\(0=\Delta \mathrm{U}+W\)

\(\Rightarrow W=-\Delta U\)

En ese caso, sólo hay que sustituir \(\Delta U\), que ya sabemos calcular.

En el proceso adiabático, funciona la ecuación:

\(p V^{\gamma}=\text { constante }\)

Es decir:

\(p_{1} V_{1}^{\gamma}=p_{2} V_{2}^{\gamma}\)

A través de esa ecuación y de la ecuación general de los gases, logramos llegar a estas otras dos relaciones:

\(T_{1} \cdot V_{1}^{\gamma-1}=T_{2} \cdot V_{2}^{\gamma-1}\)

\(T_{1}^{\gamma} \cdot P_{1}^{1-\gamma}=T_{2}^{\gamma} \cdot P_{2}^{1-\gamma}\)

El exponente \(\gamma\) se define de la siguiente manera:

\(\gamma=\frac{c_{p}}{c_{v}}\)

¿Pero cómo vamos a calcular esa relación?

La relación entre \(c_{p}\) y \(c_{v}\) viene dada por:

\(c_{p}=c_{v}+R\)

Donde \(R\) es la constante universal de los gases

Y \(c_{v}\) viene dada por: 

\(c_{v}=\frac{g}{2} R\)

Haciendo las cuentas, podemos encontrar el siguiente resultado, que es lo que importa:

¿Cool? ¡Wow, mucha cosa! Pero relájate: ¡haciendo los ejercicios todo se vuelve más fácil!