Variación de la Entropía de un Gas Ideal

Calculando la entropía

Sabemos que la variación de entropía viene dada por la fórmula:

\[\Delta S=\int \frac{d Q}{T}\]

Vamos a calcular la entropía para los procesos que más amamos :P

Proceso Adiabático Reversible:

Fácil! Por qué? Pues \(Q=0\), entonces:

\[\Delta S_{\text {adiabático}}=\int \frac{d Q}{T}=0\]

Es un proceso en el que la entropía no varía (isoentrópico)!

Proceso Isovolumétrico: 

¿Cómo calcular el calor en este proceso? Basta con recordar que:

\[Q=n c_{v} \Delta T\]

Escribiendo de forma diferencial dentro de la integral:

\[\Delta S=\int_{T_{i}}^{T_{f}} \frac{n c_{v} d T}{T}\]

Como para un gas ideal \(c_{v}\) es constante (si no fuera constante tendríamos que integrar) 

\[\Delta S=n c_{v} \int_{T_{i}}^{T_{f}} \frac{d T}{T}\]

\[\Delta S_{i s o v o l u m e t r i c o}=n c_{v} \ln \left(\frac{T_{f}}{T_{i}}\right)\]

Proceso Isobárico:

Es muy parecido al isovolumétrico, sólo recuerda que ahora vamos a usar \(c_{p}\) y no \(\mathcal{C}_{v}\).

\[Q=n c_{p} \Delta T\]

Si utilizamos la ecuación de la entropía e integramos, tendremos:

\[\Delta S_{i s o b á r i c o}=n c_{p} \ln \left(\frac{T_{f}}{T_{i}}\right)\]

Proceso Isotérmico:

Este es el más aburrido. Pero basta solo con recordar que si es isotérmico, entonces:

\[\Delta U=0\]

Debido a la primera ley de la termodinámica podemos decir que

\[Q=W=p \Delta V\]

Despejando la integral de la entropía, en la forma diferencial,

\[\Delta S=\int \frac{p d V}{T}\]

Sólo que ahora la presión no es constante con el volumen. Tenemos que transformar las cosas, usando nuestra fórmula amiga:

\[p V=n R T\]

\[p=\frac{n R T}{V}\]

Sustituyendo en la integral 

\[\Delta S=\int\left(\frac{n R T}{V}\right) \frac{d V}{T}\]

\[\Delta S=n R \int_{V_{i}}^{V_{f}} \frac{d V}{V}\]

\[\Delta S_{i s o t e r m i c o}=n R \ln \left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right)\]

Resumen 

Entropía en un ciclo termodinámico 

¿Recuerdas que la variación de entropía es una función de estado, no?

Entonces, al igual que la variación de energía interna, en un ciclo tenemos que:

\[\Delta S_{\text {ciclo }}=0\]

En una máquina térmica, además del ciclo termodinámico en sí, todavía tenemos las fuentes  fría y caliente. La variación de entropía total de este universo es:

\[\Delta S=\Delta S_{c i c l o}+\Delta S_{C}+\Delta S_{F}\]

Donde \(\Delta S_{C}\) es la variación de entropía de la fuente caliente y  \(\Delta S_{F}\) es la variación de entropía de la fuente fría.

Como consideramos la temperatura de la fuente caliente y la fuente fría constantes, podemos calcular esas variaciones a través de las fórmulas:

\[\Delta S_{C}=\frac{Q_{C}}{T_{C}}\]

\[\Delta S_{F}=\frac{Q_{F}}{T_{F}}\]

La variación total es:

\[\Delta S=\frac{Q_{C}}{T_{C}}+\frac{Q_{F}}{T_{F}}\]

Como el calor “caliente” está saliendo de la fuente caliente, tenemos que \(Q_{C}<0\).El calor frío está entrando en la fuente fría, entonces \(Q_{F}<0\).

\[\Delta S=-\frac{\left|Q_{C}\right|}{T_{C}}+\frac{\left|Q_{F}\right|}{T_{F}}\]

Para que este ciclo sea posible, por la segunda ley de la termodinámica, tenemos que,

\[\Delta S=-\frac{\left|Q_{C}\right|}{T_{C}}+\frac{\left|Q_{F}\right|}{T_{F}} \geq 0\]

\[\left|\frac{Q_{F}}{Q_{C}}\right| \geq \frac{T_{F}}{T_{C}}\]

Sustituyendo en el rendimiento;

¡Ese segundo término es justamente el rendimiento en un ciclo reversible, el ciclo de nuestro amigote Carnot! ¡Entonces!

\[\eta \leq \eta_{C a r n o t}\]

¡¡Y es por eso que ningún ciclo puede tener una eficiencia mayor que la del ciclo de Carnot. Significaría una disminución en la entropía del universo!!

¡Vamos a los ejercicios!