Diagrama T × S

Diagrama \(T \times S\)

Ya conocemos bien el diagrama \( p \times V \). Ahora vamos a conocer el diagrama \( T \times S \):

Es un diagrama donde el eje vertical representa la temperatura y el eje horizontal la entropía

También existe el diagrama \( U \times S \), pero como \(U=U(T)\), entonces su formato es exactamente igual al de \(T \times S\)! =)

Proceso Adiabático:

\(Q_{\text {adiabatico}}=0\)

\(\Delta S_{\text {adiabatico}}=0\)

Si \(\Delta S=0\), entonces la entropía es constante! Si \(\Delta T>0\), entonces este proceso será: 

Si \(\Delta T<0\), entonces el sentido se invertiría \((2 \rightarrow 1)\).

Proceso Isotérmico:

También sería una recta, sólo que ahora paralela al eje de la entropía.

Y como,

\(\Delta S_{i s o t é r m i c o}=n R \ln \left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right)\)

Si \(\Delta V>0\), entonces \(\Delta S>0(1 \rightarrow 2)\). Si \(\Delta V<0\), el sentido se invertiría.

Proceso Isovolumétrico o Isobárico:

Las curvas de los dos serán muy parecidas, la única diferencia es que en uno usamos \(c_{v}\) y en el otro \(c_{p}\). Vamos a mirar el isovolumétrico como ejemplo

\(\Delta \mathrm{S}_{\text {isovolumétrico }}=n c_{v} \ln \left(\frac{T_{f}}{T_{i}}\right)\)

Si quisiéramos escribir la temperatura en función de la entropía:

\(\ln \left(\frac{T_{f}}{T_{i}}\right)=\frac{\Delta S}{n c_{v}}\)

\(T_{f}=T_{i} e^{\Delta S / c_{v}}\)

La curva tendrá la forma de una exponencial:

Ciclo de Carnot

Los procesos en el ciclo de Carnot son:

1-2: compresión adiabática

2-3: expansión isotérmica 

3-4:  expansión adiabática 

4-1: compresión isotérmica

Los procesos 1-2 y 3-4 son adiabáticos y reversibles (entropía constante); los procesos 2-3 y 4-1 son isotérmicos (temperatura constante).

En el diagrama \(T \times S\) se ve así: 

Área debajo de la Curva

¿Qué significa el área debajo de la curva?

\(\text { Área }=\int T d S\)

Como \(d S=d Q / T\)

\(\text { Área }=\int T\left(\frac{d Q}{T}\right)=\int d Q\)

\(Área=Q\)

El área debajo de la curva es el calor en ese proceso.

Para un ciclo completo, el área dentro del ciclo

\(\text {Área}=\oint T d S=Q_{{ciclo}}\)

Pero como en cualquier ciclo \( \left(\Delta U_{\text {ciclo}}=0\right) \), por la primera ley de la termodinámica, tenemos que

\(Q_{\text {ciclo }}=W_{\text {ciclo }}\)

Entonces:

\(\text {Área del ciclo}=Q_{\text {ciclo }}=W_{\text {ciclo }}\)