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Calculisto

Energía Interna de un gas y Calores Específicos Molares

Introducción

Vimos que la primera ley relaciona la energía interna con la cantidad de calor y el trabajo realizado por o sobre un sistema.

Pero ¿qué es la energía interna, que representa? Si es energía la que posee la molécula, ¿variará de molécula a molécula? Porque una molécula monoatómica tiene menos grados de libertad que una diatómica. Heyyy, espérate ahí, ¿qué es el grado de libertad?

Grados de libertad 

Grados de libertad se refiere a el tipo de molécula de gas: si es monoatómica, diatómica o poliatómica. Y el nombre ya lo dice todo, es cuántos números de libertad (movimiento) la molécula posee.

Porque dependiendo de la geometría de la molécula, podemos tener velocidades y velocidades angulares en algunas direcciones:

 

En la molécula monoatómica, sólo tenemos \(3\) grados de libertad: traslación en los ejes \(x\),\(y\) y \(z\).

En la molécula diatómica, además de los \(3\) grados de libertad de traslación, tenemos \(2\) grados de libertad de rotación, en los ejes \(y\) y \(z\). Note que, en el eje \(x\), la rotación de la molécula no cambia, pues estamos considerando que es una recta.

Y en la molécula poliatómica, tenemos \(3\) grados de libertad de traslación y \(3\) grados de libertad de rotación.

De esta manera, podemos poner la información en una tabla:

¡Listo! Eso es todo lo que necesitas saber sobre los grados de libertad!

 

Equiparación de la energía 

Sabemos que una partícula con velocidad tiene energía cinética.

 

Ahora que sabemos que dependiendo del tipo de molécula,tenemos ciertos grados de libertad, es razonable pensar que para cada grado de libertad vamos a tener una porción de energía cinética asociada.

 

Eso es equipar la energía: la energía cinética total tiene partes para cada grado de libertad. 

 

Cada una de estas partes tiene el mismo valor, que es igual a:

 

 

Donde \(k\) es la constante de Boltzmann:

 

\(k=1,38 \times 10^{-23} J / K\) 

 

Recordando que:

 

\(k \cdot N_{A}=R\)

 

Donde \(N_{A}=6,02 \times 10^{23}\) es el número de Avogadro y \(R\) es la constante universal de los gases ideales.

 

La suma de las energías cinéticas de cada grado de libertad es lo que llamamos energía cinética media \(\left(E_{\mathrm{cm}}\right)\) del gas:

 

 

Energía interna

Entonces, acabamos de ver que existe una energía interna del gas debido a la energía cinética de sus moléculas.

Esa energía interna, como hemos visto, es la energía cinética media de todas las moléculas del gas

Denotamos con la letra \(U\) a la energía cinética del gas:

Entonces: 

 

\(U=E_{c m}\)

 

\(U=\frac{g}{2} n R T\)

 

Con \(g\) variando según el tipo de molécula:

Por lo tanto, se puede ver que la energía interna de un gas depende sólo de \(g\) y la temperatura. Y la variación de energía interna depende exclusivamente de la variación de temperatura.

\(\Delta U=\frac{g}{2} n R . \Delta T\)

La variación de la energía interna depende únicamente de la variación de la temperatura y no del tipo de proceso responsable.

Y por eso decimos que la energía interna es una función de estado, es decir, depende sólo del estado inicial y final para ser caracterizada sin importar la ruta.

La variación de energía interna entre los puntos \((1)\) y \((2)\) es la misma.

 

Recuerde: la variación de energía interna NO DEPENDE de la ruta! 

 

Signo y sentido de la energía interna

Sabemos entonces que la variación de energía interna entre dos puntos no depende de la ruta.  

Pero el sentido, al igual que en el trabajo, sólo va a cambiar el signo de \(\Delta U\):

\(\Delta U_{12}=-\Delta U_{21}\)

 

Este sentido se define por la variación de la temperatura, positivo si \(\Delta T>0\) y negativo si \(\Delta T<0\):

 

Calor y Calores Específicos 

Bien, ahora vamos a calcular el calor, ¿tienes idea de cómo lo haremos?

 

Usted se puede preguntar: ¿sirve aquella fórmula para calcular la cantidad de calor?

 

\(Q=m c \Delta T\)

 

La respuesta es: solo en dos casos, porque el calor específico no es constante en los gases ideales. 

 

Tenemos dos valores diferentes para calor específico en gases ideales. Uno para presión constante \(\left(c_{p}\right)\) y otro para volumen constante \(\left(c_{v}\right)\).

 

Es decir:

 

\(Q_{p}=n c_{p} \Delta T\) - calor intercambiado a presión constante.

 

\(Q_{v}=n c_{v} \Delta T\) - calor intercambiado a volumen constante.

 

Donde \(n\) es el número de moléculas (en mol).

 

¿Recuerda lo que pasa si el proceso es a volumen constante? No? Si el proceso es a volumen constante entonces no tendremos trabajo y así podemos, por la primera ley, decir que 

 

\(\Delta U=Q\)

 

Entonces,

 

\(\Delta U=n c_{v} \Delta T\)

 

Y así obtiene otra manera de calcular la variación de energía interna \(\Delta U\)

 

Ahora que usted conoce el calor específico,la presión constante \(C_{p}\) y el volumen constante \(c_{v}\). ¿Será que existe una relación entre ellos? Bueno te lo estoy preguntando,sí no? jaja.

 

Bien existe y no es sólo una,son dos

 

\(c_{p}-c_{v}=R\)

 

Y

 

\(c_{v}=\frac{g}{2} R \; \; \;{o}\; \; \: c_{p}=\frac{g+2}{2} R\)

 

Así es, esa \(R\) es la constante universal de los gases.

 

Bien, el calor específico es una característica de cada gas, ¿y cuando tenemos una mezcla de gases? Después de todo eso es muy común, eh.

 

Sí, porque es muy común tener una mezcla de gases, calcular el calor específico de esa mezcla puede ser muy útil y para eso usaremos la siguiente fórmula:

 

\(c=\frac{\sum_{i=1}^{x} n_{i .} c_{i}}{\sum_{i=1}^{x} n_{i}}=\frac{n_{1} \cdot c_{1}+n_{2} \cdot c_{2}+\ldots+n_{x} \cdot c_{x}}{n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{x}}\)







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