Distribución de Velocidades

Distribución de Velocidades

Bien, entonces ya sabemos calcular la velocidad media cuadrática de las moléculas de un gas. 

Pero ¿y si quisiéramos saber la velocidad de cada una de las moléculas de un gas?

Como las partículas tienen diferentes velocidades, para representar correctamente las velocidades, fue creada la función \(f(v)\), llamada distribución de Maxwell-Boltzmann. Que es el porcentaje de partículas que están en la velocidad \((f, \text {eje } y)\) versus la velocidad \((v, \text {eje } x)\).

Esto lo podemos ver a través de un gráfico de distribución de velocidades, como este:

Fíjese que si sumamos todas las probabilidades de todas las velocidades,tenemos que encontrar el 100%. Matemáticamente, el área debajo de la curva tiene que dar 1:

\(\int_{0}^{\infty} f(v) d v=1\)

Esta curva viene de una ecuación muy complicada:

\(f(v)=4 \pi \sqrt{\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3}} v^{2} e^{-\frac{m v^{2}}{2 k T}}\)

¡Pero no te asustes! Porque en general, sólo queremos saber dos cosas:

• Cuál es la velocidad más probable;

• Como este gráfico varía con la temperatura.

Velocidad más probable - \(v_{m p}\)

La velocidad más probable es aquella donde la derivada de la curva es cero, es decir, la velocidad relativa a un pico.

Gráficamente:

Si se da la ecuación de la curva, basta con calcular la derivada en relación con la \(v\) e igualar a cero:

\(\frac{d f}{d v}=0\)

Eso da, en la distribución de Maxwell-Boltzmann:

\(v_{m p}=\sqrt{\frac{2 k T}{m}}\)

Como el gráfico varía con la temperatura

Lo que necesitamos saber sobre la variación con la temperatura es:

• Cuanto mayor es la temperatura, más bajo es el pico y más ancha es la curva.

• Cuanto más baja la temperatura, más alto es el pico y más estrecha es la curva.

Podemos ver ese efecto en el gráfico:

Entonces, podemos esquematizar esto de la siguiente manera:

Cuanto mayor sea la temperatura, mayores serán las velocidades que las moléculas lograrán alcanzar (gráfico más a la derecha).

Y como el área debajo del gráfico tiene que ser siempre igual a 1, entonces cuando mayor la temperatura, menor será la altura del pico.

Entendido?

Relación entre la velocidad media, media cuadrática y la velocidad más probable

La velocidad media viene dada por la fórmula:

\(v_{m}=\int_{0}^{\infty} v f(v) d v\)

Que en la ecuación de Maxwell-Boltzmann da:

\(v_{m}=\sqrt{\frac{8 k T}{\pi m}}\)

La velocidad media cuadrática viene dada por la fórmula:

\(v_{q m}=\sqrt{\int_{0}^{\infty} v^{2} f(v) d v}=\sqrt{\frac{3 k T}{m}}\)

Y la velocidad más probable, como acabamos de ver, viene dada por la fórmula:

\(v_{m p}=\sqrt{\frac{2 k T}{m}}\)

Tenga en cuenta que, como

\(3>\frac{8}{\pi}-2,5>2\)

Entonces:

\(v_{q m}>v_{m}>v_{m p}\)

A veces te van a pedir que encuentres una de las velocidades y te van a dar el valor de otra. Por lo tanto, sólo tienes que recordar la relación entre ellas, que es:

\(v_{m p}=v_{q m} \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{v_{m}}{2} \cdot \sqrt{\pi}\)

Recordando que, dado un grupo finito de partículas, podemos calcular su velocidad media y velocidad media cuadrática a través de las fórmulas convencionales:

\(v_{m}=\frac{\sum_{i=0}^{n} v_{i}}{n}\)

Y

\(v_{q m}=\sqrt{\frac{\sum_{i=0}^{n} v_{i}^{2}}{n}}\)

¿Ya fuiste a hacer los ejercicios?