Cinetica de los Gases

¿Qué es eso?

Hemos visto que los gases ideales pueden caracterizarse por sus propiedades macroscópicas (como presión y temperatura), que son las que podemos medir, sentir, visualizar. En la práctica, son un promedio del comportamiento de millones de partículas

De acuerdo, pero ¿por qué no usamos una partícula en vez de trillones? Parece una locura, no? ¿Puedes conocer las propiedades microscópicas?

¿Se puede saber la velocidad de una sola partícula? ¿Cuántas veces por segundo una molécula choca con otra?

La respuesta es: ¡Sí! ¡Pero tendremos que usar valores medios!

A eso lo llamamos Teoría Cinética de los Gases.

Media Cuadrática de la Velocidad \(v_{q m}\)

Imagine ese montón de moléculas de gas agitadas yendo de un lado a otro

La energía total de cada una de estas moléculas es dada por el teorema de la equipartición de energía (que vamos a estudiar con más detalle después), que dice que para una molécula monoatómica es igual a:

\(E=\frac{3}{2} k T\)

Donde k es la constante de Boltzmann, \(k=1,38 \times 10^{-23} \mathrm{J} / \mathrm{K}\). 

T es la temperatura del gas en Kelvin.

Como tenemos un gas ideal, la energía potencial es cero. Para una sola molécula de masa \(m\), tenemos que:

\(E=E_{P}+E_{C}=0+\frac{m v^{2}}{2}\)

\(\frac{3}{2} k T=\frac{m v^{2}}{2}\)

\(v=\sqrt{\frac{3 k T}{m}}\)

¡Pero las moléculas NO están todas a la misma velocidad! Este valor que encontramos es simplemente un valor medio. ¡Lo llamamos  media cuadrática de la velocidad de un gas (\(\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{q} \boldsymbol{m}}\))

o \(v_{r m s}\) del inglés root mean square), pues viene de la energía cinética, que tiene la velocidad al cuadrado!

Usando la relación 

\(k=\frac{R}{N_{A}}\)

R es la constante de los gases ideales y \(N_{A}\) el número de Avogadro. Podemos llegar a una fórmula equivalente:

\(v_{q m}=\sqrt{\frac{3 k T}{m}}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}}\)

Donde M es la masa molar del gas (cantidad de masa por número de moles).

Todavía podemos usar la

\(P V=n R T\)

Y llegar a una tercera forma de la misma ecuación:

\(v_{q m}=\sqrt{\frac{3 k T}{m}}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}}=\sqrt{\frac{3 P}{\rho}}\)

Donde \(\rho\) es la densidad del gas.

¡Vaya, tres fórmulas! Tres formas diferentes de calcular.

Analizando las fórmulas, vemos que cuanto mayor sea la temperatura o la presión, mayor será la velocidad de las moléculas, como se esperaba.

Camino Libre Medio 

El camino libre medio es una magnitud microscópica más que queremos medir y comparar con magnitudes macroscópicas

¿Pero qué es el camino libre medio?

Imagina una botella de \(2 L\) con varias canicas dentro. Empiezas a balancear esa botella. Las canicas chocarán con la pared de la botella y entre ellas, ¿verdad?

En un mundo microscópico, los átomos o moléculas de un gas pueden ser considerados como las canicas y chocarán entre sí en un recipiente.

El libre camino medio o camino libre medio (como sea, el orden de estas palabras no altera el producto final jaja) es la distancia media recorrida entre una colisión y otra.

¿Como se calcula?

Vamos a calcular el camino libre medio, llamado \(\lambda\), por la fórmula:

\(\lambda=\frac{V}{\sqrt{2} \pi \cdot N \cdot d^{2}}\)

Donde \(V\) es el volumen del recipiente donde está confinado el gas,\(N\) es el número de átomos o moléculas y \(d\) es el diámetro del átomo o molécula que compone el gas.

En los ejercicios de este tema, es muy común que se nos solicite el diámetro del átomo o molécula, dado la cantidad de partículas por centímetro cúbico. Para trabajar con ese dato, podemos reescribir la fórmula de la siguiente manera:

\(\lambda=\frac{1}{\sqrt{2} \pi \cdot\left(\frac{N}{V}\right) \cdot d^{2}}\)

Frecuencia o tiempo de colisión

Si tenemos la velocidad de las partículas \(v\) podemos descubrir el tiempo medio entre una colisión y otra \((t)\), pues

\(v=\frac{\lambda}{t}\)

\(t=\frac{V}{\sqrt{2} \pi N d^{2} v}\)

O la frecuencia de los choques, cuántas veces chocan por segundo, si recordamos que:

\(t=\frac{1}{f}\)

\(f=\frac{\sqrt{2} \pi N d^{2} v}{V}\)

Entonces, por ejemplo, si tenemos una muestra de gas hidrógeno a una temperatura de \(20 K\) y su camino libre medio en esa condición es de \(4,5 \bullet 10^{11} m\). Sabiendo que hay alrededor de 50 átomos de hidrógeno por centímetro cúbico y que el diámetro de un átomo de hidrógeno es del orden de \(10^{-8} \mathrm{cm}\). ¿Cuál es la frecuencia de choques en esta muestra?

Masa molar del hidrógeno: \(2 \cdot 10^{-3} \mathrm{kg} / \mathrm{mol}\)

\(R=8,3 J / \mathrm{mol} . K\)

Bueno, ya tenemos el camino libre medio, podemos encontrar la velocidad y jugar con la fórmula:

\(v=\frac{\lambda}{t}\)

\(\therefore\)

\(v=\lambda f \rightarrow f=\frac{v}{\lambda}\)

Para hallar la velocidad:

\(v_{q m}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}}=\sqrt{\frac{(3)(8,3)(20)}{2 \cdot 10^{-3}}} \approx 500 m / s\)

Con eso, hallamos \(f\):

\(f=\frac{v}{\lambda}=\frac{500}{4,5 \bullet 10^{11}} \approx 1,11 \bullet 10^{-9} s^{-1}\)

Bueno, ya hemos visto bastante, ahora manos a la obra!