Paso 1

\(a)\) A partir de la descripción de la situación, haremos un gráfico que nos muestre el ejemplo.

Por comodidad, pondré el inicio del eje de coordenadas en la esquina de mi edificio... y desde allí mediré los movimientos. Podemos ver que todo queda representado así:

\(b)\) Las diferentes posiciones que recorre el vecino son:

Posición inicial: El edificio.

\[\vec{r_i}=(50; 0)=50 \hat{i}\]

Posición 1: Esquina de su casa = Origen de coordenadas.

\[\vec{r_1}=(0; 0)= \vec{0}\]

Posición 2: Kiosco.

\[\vec{r_2}=(0; 100)= 100 \hat{j}\]

Posición 3: Aviso de amigo.

\[\vec{r_3}=(0; 25)= 25 \hat{j}\]

Posición final: Kiosco.

\[\vec{r_f}=(0; 100)= 100 \hat{j}\]

Todas las posiciones son vectores, porque necesitamos de coordenadas para identificar un punto en el plano donde se mueve el nene.

Respuesta

\(c)\) Necesitamos conocer la distancia recorrida en cada tramo.

Vimos que la distancia en cada tramo, es la longitud del vector Desplazamiento… Entonces, calculemos el Desplazamiento y luego la distancia.

Desplazamiento: \(\Delta \vec{r}= \vec{r_f}-\vec{r_i}\).

Distancia recorrida: \(|\Delta \vec{r}|\).

Aplicamos eso a cada movimiento:

\(-\)Movimiento 1: Desde el edificio a la esquina.

\[\vec{Mov.  1}=\vec{r_1} - \vec{r_i} = (0; 0)-(50; 0) = (-50; 0)\]

Distancia: \(|\vec{Mov.  1}|=\sqrt{(-50)^2+0^2}=50\)

\(-\)Movimiento 2: Desde la esquina hasta el kiosco.

\[\vec{Mov.  2}=\vec{r_2} - \vec{r_1} = (0; 100)-(0; 0) = (0; 100)\]

Distancia: \(|\vec{Mov.  2}|=\sqrt{0^2+100^2}=100\)

\(-\)Movimiento 3: Desde el kiosco hasta el punto donde le avisan que vuelva para ver a su amiguito.

\[\vec{Mov.  3}=\vec{r_3} - \vec{r_2} = (0; 25)-(0; 100) = (0; -75)\]

Distancia: \(|\vec{Mov.  3}|=\sqrt{0^2+(-75)^2}=75\)

\(-\)Movimiento 4: Desde el punto de aviso, hasta el kiosco que es su posición final.

\[\vec{Mov.  4}=\vec{r_f} - \vec{r_3} = (0; 100)-(0; 25) = (0; 75)\]

Distancia: \(|\vec{Mov.  4}|=\sqrt{0^2+75^2}=75\)

\(-\)Para calcular el Desplazamiento final, o total, debemos tomar solamente el cambio de posiciones inicial y final.

Con eso, podemos ver que la distancia a la que se encuentra de su casa en la posición final, es diferente a la distancia total recorrida.

Y así encontramos, el Desplazamiento total:

\[\Delta \vec{r}=\vec{r_f}-\vec{r_i}=(0; 100) – (50; 0)=(-50; 100)=-50\hat{i}+100\hat{j}\]

Ese vector es el siguiente:

Podemos calcular rápidamente que, en esa posición, está a una distancia de su casa:

Distancia = \(|\Delta \vec{r}|=|(-50; 100)| = \sqrt{(-50)^2+100^2}=111,8\)

La distancia total recorrida es la suma de las distancias de cada tramo o movimiento:

\[\text{Distancia Total = }50 mts + 100 mts + 75 mts + 75 mts = 300 mts\]

Como vemos, la ubicación está a menor distancia del punto inicial en comparación con la distancia total recorrida.