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Un esquiador recorre \(2,80 \mathrm{km}\) con un ángulo de \(45^{\circ}\) considerando rotación en sentido de sur hacia oeste, seguido de \(7,40 \mathrm{km}\) a \(30^{\circ}\) con sentido de este a norte, finalmente \(3,30 \mathrm{km}\) a \(22,0^{\circ}\) en sentido de oeste a sur. ¿Cuál es la distancia entre el punto inicial y final de la trayectoria?
Datos:
\(\cos 22^{\circ}=0,927\)
\(\operatorname{sen} 22^{\circ}=0,375\)
SoluciónPara calcular la distancia entre el punto inicial y final debemos hallar el desplazamiento vectorial de dicho esquiador. Considerando que el punto de inicio es el origen del movimiento.
Primero recorre \(2,80 \mathrm{km}\) con un ángulo de \(45^{\circ}\) considerando rotación en sentido sur a oeste. Échale un vistazo al siguiente diagrama.
Para hallar sus componentes usaremos la “regla COsechar/SEmbrar”
\(r_{1 x}=-r_{1} \cdot \operatorname{sen} 45^{\circ}=-2,8 \cdot \operatorname{sen} 45^{\circ}=-1,98 \mathrm{km}\)
\(r_{1 y}=-r_{1} \cdot \cos 45^{\circ}=-2,8 \cdot \cos 45^{\circ}=-1,98 \mathrm{km}\)
El desplazamiento luce así
\(\vec{r}_{1}=r_{1 x} \hat{i}+r_{1 y} \hat{j}\)
\(\vec{r}_{1}=-1,98 \hat{i}-1,98 \hat{j} \mathrm{km}\)
Con la ayuda del siguiente diagrama hallaremos el segundo desplazamiento.
Usando la “regla de COsechar/SEmbrar”
\(r_{2 x}=r_{2} \cdot \cos 30^{\circ}=7,4 \cdot \cos 30^{\circ}=6,409 \mathrm{km}\)
\(r_{2 y}=r_{2} \cdot \operatorname{sen} 30^{\circ}=7,4 \cdot \operatorname{sen} 30^{\circ}=3,7 \mathrm{km}\)
Dando como resultado
\(\vec{r}_{2}=r_{2 x} \hat{i}+r_{2 y} \hat{j}\)
\(\vec{r}_{2}=6,409 \hat{i}+3,7 \hat{j} \mathrm{km}\)
Vamos con el tercer tramo del movimiento.
Usando la “regla COsechar/SEmbrar”
\(r_{3 x}=-r_{3} \cdot \cos 22^{\circ}=-3,3 \cdot \cos 22^{\circ}=-3,06 \mathrm{km}\)
\(r_{3 y}=-r_{3} \cdot \operatorname{sen} 22^{\circ}=-3,3 \cdot \operatorname{sen} 22^{\circ}=-1,236 \mathrm{km}\)
Obtenemos el desplazamiento
\(\vec{r}_{3}=r_{3 x} \hat{i}+r_{3 y} \hat{j}\)
\(\vec{r}_{3}=-3,06 \hat{i}-1,236 \hat{j} \mathrm{km}\)
El total será
\(\vec{r}_{t o t}=\vec{r}_{1}+\vec{r}_{2}+\vec{r}_{3}\)
\(\vec{r}_{t o t}=-1,98 \hat{i}-1,98 \hat{j}+6,409 \hat{i}+3,7 \hat{j}-3,06 \hat{i}-1,236 \hat{j}\)
\(\vec{r}_{t o t}=1,369 \hat{i}+0,484 \hat{j} k m\)
La distancia entre el punto inicial y final es el módulo del vector desplazamiento total.
\(\vec{r}_{t o t}=1,369 \hat{i}+0,484 \hat{j}\)
\(r_{t o t}^{2}=r_{t o t_{x}}^{2}+r_{t o t_{y}^{2}}\)
\(r_{t o t}^{2}=(1,369)^{2}+(0,484)^{2}\)
\(r_{t o t}^{2}=(1,369)^{2}+(0,484)^{2}\)
\(r_{t o t}=1,45 \mathrm{km}\)
\(d=1,45 \mathrm{km}\)
\(d=1,45 \mathrm{km}\)
