Paso 1

Para analizar de manera acertada el enunciado debemos realizar un dibujo de la caminata hecha por el explorador. 

El movimiento debe ser algo así

Paso 2

Luego de caminar los primeros \(2,4 \mathrm{km}\) hacia el este el explorador comienza a caminar sobre un arco de círculo centrado al campamento.

Si el centro del círculo es el campamento, no importa si caminó \(2,4 \mathrm{km}\) sobre el círculo o \(300 \mathrm{km}\), cuando pare de caminar, su distancia en relación a la del campamento siempre será la misma, debido a que es el radio del círculo, determinado por lo primeros \(2,4 \mathrm{km}\) que caminó. 

Esto quiere decir que cuando termine de caminar los \(2,4 \mathrm{km}\) sobre el círculo centrado al campamento, se encontrará a  \(2,4 \mathrm{km}\) del campamento. Como el explorador caminó \(1,5 \mathrm{km}\) directamente hacia el campamento, la distancia para llegar al mismo es:

\(d=2,4-1,5\)

\(d=0,9 \mathrm{km}\)

Paso 3

\((b)\) Para conocer la orientación del explorador, necesitamos saber cuantos grados equivalen los \(2,4 \mathrm{km}\) caminados sobre el círculo. Para así saber en qué posición paró el explorador.

Para descubrir el valor del ángulo realizaremos un regla de tres. 

Sabemos que \(2 . \pi . r\) equivale \(360^{\circ}\), por tanto:

2. \(\pi .2,4 \rightarrow 360^{\circ}\)

\(2,4 \rightarrow \theta\)

\(\theta=\frac{360.2,4}{2 . \pi .2,4}\)

  \(\theta=57,3^{\circ}\)

Tenemos que el vector posición del explorador está \(57,3^{\circ}\) por encima del eje este.

Paso 4

Ya calculamos la distancia restante para llegar al campamento y vimos que \(d=0,9 k m\), la distancia recorrida es la suma de todos los trayectos realizados por el explorador:

 \(\text {distancia recorrida}=2,4 \mathrm{km}+2,4 \mathrm{km}+1,5 \mathrm{km}\)

 \(\text {distancia recorrida}= 6,3 \mathrm{km}\)

Haciendo la razón del desplazamiento final, con la distancia recorrida, llegamos a:

\(\frac{\text {desplazamiento final}}{\text {distancia recorrida}}=\frac{0,9}{6,3}\)

\(\frac{\text {desplazamiento final}}{\text {distancia recorrida}}=\frac{1}{7}\)

Respuesta

\((a) d=0,9 \mathrm{km}\)

\((b) \text {El vector posición del explorador está a } 57,3^{\circ} \text{por encima del eje este}\).

\((c) \frac{\text { desplazamiento final }}{\text { distancia recorrida }}=\frac{1}{7}\)