Dipolos Eléctricos

Introducción

Después de todo, ¿qué son los dipolos eléctricos?

Los dipolos eléctricos son formados por un par de cargas de mismo módulo, una positiva y la otra negativa, separadas por una distancia constante.

En este caso, solo nos preocupa calcular dos cosas: el valor del torque sobre el dipolo eléctrico cuando está en presencia de un campo eléctrico uniforme, y el campo eléctrico generado por el dipolo.

Dipolo eléctrico en un campo uniforme

El dipolo de abajo está en una región con campo eléctrico uniforme. Prestemos especial atención a las fuerzas que actúan sobre este sistema, ¿de acuerdo?

La fuerza que actúa en la carga positiva posee un sentido opuesto a la fuerza que actúa en la carga negativa. Como la fuerza total sobre el dipolo vale cero, el dipolo no se moverá. 

Sin embargo, veremos que existe torque. Por lo tanto, el dipolo sufrirá rotación y tendrá una aceleración angular. 

Como ya vimos, la distancia entre las cargas es siempre constante: es como si una barra rígida uniera las dos cargas puntuales. En consecuencia, podemos imaginar que esa barra girará en sentido horario. 

No obstante, tenga en cuenta que cada una de esas dos fuerzas puedes descomponerse en dos direcciones diferentes:

• En la dirección de la barra;
• En la dirección ortogonal (perpendicular) a la barra. 

Primero, observemos las componentes de las fuerzas que actúan en la dirección de la barra: 

Como poseen sentidos opuestos, se cancelarán y, además, no generarán ningún tipo de rotación en la barra. Por lo que, podemos ignorarlas.

Para calcular el torque, que está unido a la fuerza que hace el dipolo girar, debemos considerar solo las componentes ortogonales de la barra.

Observando solamente la componente ortogonal de la fuerza que actúa en la carga positiva (la línea azul representa la dirección de la barra):

La fuerza ortogonal a la línea azul vale: \(q . E . \operatorname{sen}(\theta)\)

Esa componente actúa tanto en la carga positiva como en la carga negativa, solo que en sentidos opuestos. Presta atención:

Vamos a considerar que la distancia entre las cargas es igual a \(d\)

El punto de rotación del dipolo es el centro de la barra. Como tenemos dos fuerzas realizando torque y la distancia entre el centro de la barra y cada carga vale \(d / 2\), el torque sobre el dipolo será:

\[\tau=2 . q . E . s e n(\theta) \cdot \frac{d}{2}=(q . d) .(E . \operatorname{sen}(\theta))\]

Esa magnitud \((q \cdot d)\) es lo que llamamos momento dipolar eléctrico, que es representado por la letra \(p\). Por lo tanto, podemos escribir el vector torque eléctrico de la siguiente forma:

\[\vec{\tau}=\vec{p} \times \vec{E}\]

Cabe resaltar que el seno en la ecuación anterior “suma” porque forma parte de la definición de producto vectorial.

Si escribimos la ecuación de esa forma, debemos adoptar la siguiente convención:

• El vector momento dipolar eléctrico \(\vec{p}\) es un vector que “sale de la carga negativa y parte en dirección a la carga positiva” y posee mismo módulo al producto entre la carga del dipolo y la distancia, es decir, \(q \cdot d\).
• El orden del producto vectorial entre el momento dipolar eléctrico y el campo eléctrico no puede ser invertido: el momento dipolar debe iniciar el producto. Equivocarse en este orden invertirá el signo del resultado! O sea,

\[\vec{\tau} \neq \vec{E} \times \vec{p}=-\vec{p} \times \vec{E}\]

Con base en la ecuación de torque, podemos ver que:

• Cuanto mayor la carga del dipolo o cuanto mayor la distancia entre las cargas, mayor será el torque. 
• Cuanto más cerca de \(90^{\circ}\) sea el ángulo \(\theta\), mayor será el torque del dipolo. Si la barra del dipolo está alineada en la misma dirección del campo eléctrico, es decir, \(\theta=0^{\circ}\), no habrá rotación.
• Debido al producto vectorial, el sentido del vector torque puede ser determinado por la regla de la mano derecha (en ese caso, el vector “entra” en la pantalla del ordenador).

Campo eléctrico generado por un dipolo

Te voy confesar que no en todos los sitios estudian este tópico. Pero cuando es estudiado, las preguntas suelen pedir la deducción del campo eléctrico generado por el dipolo. Por eso, no sirve de nada grabarnos la fórmula, tenemos que entender cómo llegar a ella.

Entonces, vamos a trabajar en esa deducción, te parece?

Lo que tenemos que hacer es calcular el campo eléctrico que un dipolo genera en un punto \(P\) equidistante de las cargas, como en la figura de abajo. 

Por la figura, podemos ver que la carga positiva del dipolo ejerce en \(P\) un campo igual a \(E_{+}\) y la carga negativa genera, en ese punto, un campo igual a \(E_{-}\).

Cuando descomponemos esos dos campos horizontalmente (eje \(x\)) y verticalmente (eje \(y\)), vemos que las componentes en \(x\) se sumarán, mientras que las componentes en \(y\) se anularán.

Entonces, a partir de la figura, podemos decir que:

\[E_{+x}=E_{-x}=E_{+} \cdot \cos (\theta)=E_{-} \cdot \cos (\theta)\]

El coseno puede ser calculado observando el triángulo rectángulo de la figura, de forma que:

\[\cos (\theta)=\frac{\left(\frac{a}{2}\right)}{R}\]

Esa distancia \(R\) puede ser calculada por Pitágoras: 

\[R=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+r^{2}}\]

Entonces:

\[\cos (\theta)=\frac{\left(\frac{a}{2}\right)}{\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+r^{2}}}\]

Solo falta calcular el campo \(E_{+}\). Aplicando la fórmula de cálculo de campo eléctrico:

\[E_{+}=K \cdot \frac{q}{R^{2}}=K \cdot \frac{q}{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+r^{2}}\]

Sustituyendo:

\[E_{+x}=E_{-x}=E_{+} \cdot \cos (\theta)=K \cdot \frac{q}{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+r^{2}} \cdot \frac{\left(\frac{a}{2}\right)}{\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+r^{2}}}=\frac{K \cdot q \cdot\left(\frac{a}{2}\right)}{\left[\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+r^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\]

...uff! Acabamos de calcular la fórmula de campo eléctrico creado por un dipolo en función de la distancia \(r\).

Okay. Pero existe un truquito que te facilitará la vida. A veces, podemos considerar que \(r\) es mayor que \(a / 2\),o , en notación física:

\[r \gg \frac{a}{2}\]

Eso simplifica el cálculo!

Haciendo eso, podemos escribir el denominador de la siguiente forma:

\[\left[\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+r^{2}\right]^{\frac{3}{2}} \approx\left(r^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=r^{3}\]

Entonces, podemos llegar a la forma final de nuestra ecuación para calcular el campo total \((E)\) generado por el dipolo eléctrico:

\(E=2 . E_{+x}=2 \cdot \frac{K \cdot q \cdot\left(\frac{a}{2}\right)}{\left[\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+r^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}=\frac{K \cdot q \cdot a}{\left[\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+r^{2}\right]^{\frac{3}{2}}} \approx \frac{K \cdot q \cdot a}{r^{3}}\)

\[E=\frac{K \cdot q \cdot a}{r^{3}}\]

Para cerrar (lo juro!), el momento dipolar eléctrico \(p\) posee módulo exactamente igual a \(q \cdot a\). Por lo que también podemos escribir la fórmula como:

\[E=\frac{K \cdot p}{r^{3}}\]

Importante: El campo generado por el dipolo eléctrico tiene sentido contrario al del momento dipolar eléctrico. 

Eso es todo, chicos! ;)