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Calculisto

Potencial Eléctrico Generado por una Carga Puntual

Introducción

El concepto de potencial eléctrico puede parecer un poco extraño (y tal vez lo sea), pero está muy poco relacionado al campo eléctrico.

Si soltamos una carga eléctrica \((q)\) en una región con campo eléctrico \((\vec{E})\), sobre esa carga actuará una fuerza eléctrica \((\vec{F})\) dada por:

 

\(\vec{F}=q \vec{E}\)

 

Al mover esa carga a lo largo de una curva cualquiera \(C\), la fuerza realizará un trabajo \((W)\) definido por: 

 

\(W=\int_{C} \vec{F} \bullet \overrightarrow{d r}\)

 

Además, sabemos que, al mover esa carga, ese trabajo genera una variación de energía potencial \((\Delta U)\), dada por:

 

\(\Delta U=-W\)

 

Lo complicado es que el concepto de potencial eléctrico viene del concepto de energía potencial. Para ser más preciso, el potencial eléctrico \((V)\) es la energía potencial por unidad de carga.

 

\(V=\frac{U}{q}\)

 

Es decir, la unidad de potencial eléctrico es Joule/Coulomb,\((\boldsymbol{J} / \boldsymbol{C})\); en el Sistema Internacional se utiliza como unidad el voltio \((\boldsymbol{V})\).

 

Genial! Juntando todo lo que hemos visto hasta aquí, tenemos la siguiente ecuación:

 

\(\Delta U=-\int_{C} \vec{F} \bullet \overrightarrow{d r}\)

 

Si dividimos los dos lados de esa ecuación por nuestra carga \((q)\) llegamos a una ecuación muy importante, que nos dice cómo calcular la variación de potencial eléctrico, o diferencia de potencial (ddp):

 

\(\Delta V=-\int_{C} \vec{E} \bullet \overrightarrow{d r}\)

 

Esta es una propiedad que depende solamente del campo externo.

 

Potencial Generado por una Carga Puntual

Para encontrar la expresión de potencial eléctrico generado por una carga eléctrica \((q)\) aislada, debemos prestar atención a ciertos detalles importantes:

  • Necesitamos saber el potencial en al menos un punto para utilizar la fórmula de la integral (ya que tenemos un punto inicial y un punto final);

  • Es común arbitrar que el potencial en el infinito es cero. 

 

El campo eléctrico generado por una carga puntual viene dado por:

 

\(\vec{E}=k \frac{q}{r^{2}} \hat{r}\)

 

Por tanto, podemos integrar desde el infinito (potencial cero) a un punto arbitrario de distancia \(r\) de donde está nuestra carga. Entonces: 

 

\(V(r)-V(\infty)=-\int_{\infty}^{r}\left(k \frac{q}{r^{2}} \hat{r}\right) \bullet \overrightarrow{d r}\)

 

\(V(r)-0=-k q \int_{\infty}^{r} \frac{d r}{r^{2}}\)

 

\(V(r)=\frac{k q}{r}\)

 

Genial! Ya sabemos encontrar el potencial a partir del campo eléctrico. 

 

Y si quisiéramos encontrar el campo eléctrico a partir del potencial?

Si utilizamos la ecuación de diferencia de potencial en una curva cerrada, como los puntos inicial y final son iguales, tenemos que:

\(\Delta V=V_{\text {final}}-V_{\text {inicial}}=0\)

 

\(\oint_{C} \vec{E} \bullet \overrightarrow{d r}=0\)

 

Lo que nos dice es que el campo eléctrico es un campo conservativo (si eso te traumatizó en cálculo 3, tranquilo, no nos vamos a profundizar mucho en eso, okay?)

 

El hecho de sea un campo conservativo significa que podemos escribirlo de la siguiente manera:

 

\(\vec{E}=-\nabla V\)

 

Si gustas, puedes aprenderla de memoria, pero no se utiliza muy seguido en los exámenes.

 

El triángulo al revés es nuestro operador de derivadas parciales:

 

\(\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\)

 

Siendo así, podemos calcular las componentes del campo eléctrico de la siguiente forma:

 

\(\vec{E}=\left(-\frac{\partial V}{\partial x},-\frac{\partial V}{\partial y},-\frac{\partial V}{\partial z}\right)\)

 

Superficies Equipotenciales

Al principio este asunto no tiene nada de malo o complicado, el problema son las pequeñas trampas…

Vamos allá! Yendo al grano, una superficie equipotencial es una superficie (imaginaria o no) cuyo potencial es igual en todos sus puntos. Lo interesante es que podemos relacionar esta idea con nuestra fórmula de diferencia de potencial. 

 

\(\Delta V=-\int_{C} \vec{E} \bullet \overrightarrow{d r}\)

 

Esa \(\Delta V\) a la izquierda de la ecuación nos dice que la integral de línea a la derecha no depende del camino \(C\) escogido. Como estamos hablamos de superficies equipotenciales, eso significa que, como el potencial es el mismo, \(\Delta V\) será cero:

 

\(V_{\text {final}}=V_{\text {inicial}} \rightarrow \Delta V=0\)

 

Para comenzar, necesitamos recordar que una línea de campo nada más es una línea que acompaña los vectores de campo. Y cuando miramos la integral de línea, tenemos que ser expertos con lo siguiente: 

 

  • \(\int_{C} \vec{E} \bullet \overrightarrow{d r}\) aumenta cuando recorremos una línea de campo en el mismo sentido que el campo. 

  • \(\int_{C} \vec{E} \bullet \overrightarrow{d r}\) disminuye cuando recorremos una línea de campo en sentido opuesto al del campo. 

 

“¿Pero eso se aplica a la superficie equipotencial?”

 

Para entenderlo, vamos a jugar Pac-Man. Las reglas son las siguientes:

 

  • Pac-Man gana puntos a medida que come flechitas.

  • Si se come la flecha por la punta, se le clavará en la garganta, entonces perderá puntos.

 

Vamos allá! Si por casualidad hubiera una línea de campo que fuese de un punto de la superficie equipotencial a otro, podríamos hacer que el Pac-Man siguiera ese camino.

 

Solo que, como la superficie es equipotencial, los potenciales en todos los puntos son iguales! Entonces, \(\Delta V=0\)! Es decir, tiene algo extraño, verdad?.

 

Conclusión:

 

Es completamente imposible tener una línea de campo que conecte dos puntos de una superficie equipotencial. 

 

Otra consecuencia de este análisis es que el campo en la superficie no puede tener ninguna componente tangente a él, o el Pac-Man podría llegar a un resultado absurdo si hace un camino a lo largo de la superficie. 

 

El aspecto correcto de un camino \(C\) que conecta dos puntos de la superficie equipotencial es el siguiente. Tendrías que pasar al menos dos líneas de campo, una de las cuales tendría que ir necesariamente en contra de tu camino.

 

Es decir: 

 

\(\Delta V=0\)

 

Y por último, algo que vale la pena comentar es: como \(\Delta V\) es igual a menos que la integral, por lo que el campo apunta desde el mayor potencial hasta el menor . Sería bueno que memorices esa frase.

 

Y eso es todo.

 

Potencial y Conductores en Equilibrio Electrostático

Recuerdas la Ley de Ohm?

\(V=R I\)

 

Donde una diferencia de potencial \((V)\) entre dos puntos implica en términos de corriente eléctrica \((I)\) entre esos puntos (si el medio lo permite, es decir, si no es aislante). La frase para memorizar aquí es la siguiente:

 

En equilibrio electrostático todo conductor es equipotencial.

 

Si hubiese una diferencia de potencial entre dos puntos del conductor, que tendríamos? Exacto, corriente eléctrica, que no es más que cargas en movimiento. 

 

Movimiento de cargas y equilibrio electrostático son cosas opuestas!!! Entonces, no puede existir una ddp entre dos puntos de un conductor en equilibrio electrostático.

 

Si existiese ddp, tendríamos corriente, y la corriente no puede estar en equilibrio. 

 

Chicos, puedo hablar hasta hartarlos. La gracia es que aprueben el examen!!

 

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