Introducción a la Ley de Gauss

Introducción

Hola chicos! Yendo directo al grano, en esta oportunidad estaremos viendo la Ley de Gauss. La pregunta que debemos hacernos es: ¿Cómo aparece eso en las preguntas? 

Podemos dividir las preguntas sobre las leyes de Gauss en dos tipos:

• Preguntas teóricas, que probarán si usted realmente entendió la ecuación y los conceptos. 

• Preguntas en las que queremos calcular el campo eléctrico generado por un objeto con forma diferente (ejemplo: cilindro, hilo, plano, etc.)

Comencemos por la parte teórica, okey?

Ante todo, es muy importante recordar que las cargas positivas repelen el campo eléctrico (hacia fuera) y las cargas negativas atraen el campo eléctrico (hacia dentro).

La ley de Gauss se puede resumir en dos nociones:

• Cuanto mayor sea la carga positiva, más líneas de campo va a “escupir”;
• Cuanto mayor sea la carga negativa, más líneas de campo va a “chupar”.

A continuación, veremos cómo la ley de Gauss convierte todo esto en una ecuación.

Primer Paso – Escoger la Superficie Gaussiana

“Espera, ¿qué es una superficie gaussiana?”

Tu pregunta es realmente buena, incluso me emociona! Es una superficie cerrada con cualquier forma, que vamos a utilizar para envolver una cierta cantidad de cargas. 

En nuestro ejemplo, vamos a poner una carga positiva en el interior de una superficie gaussiana en forma de cubo, presta atención:

Imagina las líneas de campo siendo escupidas por nuestra carga positiva… es como si el cubo estuviese siendo forzado a expandirse, cierto?

Cuanto más se ve forzado a expandirse, más positivamente grande será el flujo eléctrico calculado que pasa por el cubo. Ese flujo eléctrico en el cubo es representado por \(\Phi(\vec{E})\).

Si la carga fuera negativa, las líneas irían “contrarias” al cubo. Y cuanto más fuerte sea la carga negativa, más negativamente grande será el flujo eléctrico.

Más adelante, veremos cómo se calcula este flujo. Pero ahora, podemos entender la ecuación de la ley de Gauss:

\(\Phi(\vec{E})=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0}}\)

Donde:

• \(\Phi(\vec{E})\) es el flujo que calculamos en la superficie gaussiana de la figura;

• \(Q_{i n t}\) representa las cargas en el cubo. 

• \(\epsilon_{0}\) es la constante de permitividad en el vacío \(\epsilon_{0}=\frac{1}{4 \pi \cdot K_{0}} \cong 8,85 \times 10^{-12} C^{2} / N m^{2}\). 

Por la ecuación, el flujo \(\Phi(\vec{E})\) tiene el mismo signo que la carga total \(Q_{i n t}\) en el interior de la gaussiana. 

Por lo tanto, los flujos positivos están relacionados a las cargas positivas y a las líneas de campo que salen de la gaussiana, mientras que los flujos negativos están relacionados a las cargas negativas y a las líneas de campo que entran en la gaussiana. 

Cuidado de no caer en trampas 

Echemos un vistazo a dos alteraciones que por lo general aparecen en los exámenes para ver si usted está entendiendo en el tema. 

Alteración 1: ¿Y si cambiamos la forma de la superficie gaussiana a otra como por ejemplo, un cilindro?

Respuesta: La forma de la superficie gaussiana no interfiere en nada en el problema si la carga está dentro de la esfera o dentro de la superficie loca. La propia ecuación de la ley de Gauss nos dice esto:

\(\Phi_{C u b o}(\vec{E})=\Phi_{\text {Cilindro }}(\vec{E})=\frac{Q_{\text {int}}}{\epsilon_{0}}\)

Alteración 2: ¿Y si ponemos más de una carga dentro de nuestra gaussiana?

Respuesta: En ese caso, \(Q_{i n t}\) será una suma de todas las cargas internas. Por ejemplo: si tenemos \(5\) cargas dentro de la gaussiana: \(Q_{i n t}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+Q_{4}+Q_{5}\) :)  

Ahora, para hacer las preguntas, veamos cómo se suelen presentar los ejemplos.

Ejemplo 1

En este ejemplo, tenemos dos cargas, una positiva y una negativa. El campo sale de la carga positiva y entra en la carga negativa. Vamos a trazar esas tres gaussianas y veamos que sucede en cada una de ellas.

Gaussiana roja: el flujo en esa gaussiana vale \(\frac{Q_{+}}{\epsilon_{0}}\). También podemos notar que todas las líneas están saliendo de la superficie, así, el flujo es positivo;

Gaussiana verde: en este caso, el razonamiento es el contrário. Las líneas están entrando a la gaussiana, es decir, el flujo es negativo y vale \(\frac{Q_{-}}{\epsilon_{0}}\);

Gaussiana azul: Como no tenemos cargas dentro de esta superficie gaussiana, el flujo es cero. 

Importante: Un flujo eléctrico nulo no significa que el campo es cero en todos los puntos de la superficie. Eso significa que tenemos el mismo número de líneas de campo entrando y saliendo de la gaussiana. 

Ejemplo 2

Ahora, veamos el caso en que una gaussiana cubre dos cargas.

¿Que podemos decir sobre el flujo? La respuesta es: Compararemos el módulo de carga positiva \(\left|Q_{+}\right|\) con el módulo de carga negativa \(\left|Q_{-}\right|\). Sabemos que: 

\(\Phi(\vec{E})=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0}}=\frac{\left|Q_{+}\right|-\left|Q_{-}\right|}{\epsilon_{0}}\)

Resumen ;)

• \(\Phi(\vec{E})=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0}}\);

• El flujo \(\Phi(\vec{E})\) es calculado alrededor de una superficie cerrada que contiene la carga que queremos calcular. Esa superficie es llamada Gaussiana;

• \(Q_{i n t}\) es la sumatoria de todas las cargas interiores de la superficie

• Si el flujo es positivo \(\left(Q_{i n t}>0\right)\), habrá más líneas de campo saliendo de la gaussiana que entrando. Y si el flujo es negativo \(\left(Q_{i n t}<0\right)\) habrá más líneas de campo entrando que saliendo;

• Si no hay líneas entrando y saliendo o si el número de líneas que entran en la superficie es igual al número de líneas que salen, entonces la carga total en el interior de la gaussiana es nula \(\left(Q_{i n t}=0\right)\). 

• Podemos escoger cualquier forma como superficie gaussiana, las operaciones matemáticas realizadas no cambiarán.

Eso es todo! ¿Vamos a los ejercicios?