Flujo del Campo Eléctrico

Vimos que, por Ley de Gauss:

\(\Phi_{e}(\vec{E})=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0}}\)

Pero a fin de cuentas, que es \(\Phi_{e}\)? ¿Cómo calculamos el flujo eléctrico generado por el campo?  

Cálculo de un flujo

Imagina que queremos el flujo de un vector cualquiera \(\vec{V}\) en una superficie de área \(A\) de la figura.

La idea es la siguiente: vamos a descomponer ese vector en dos componentes, una perpendicular al área \(\left(V_{X}\right)\) y otra paralela al plano \(\left(V_{Y}\right)\). 

La componente \(V_{y}\) no influencia en nada que el flujo de \(V\) atraviese el plano. Por lo tanto, solo la componente \(V_{X}\), perpendicular al plano escogido, debe ser utilizada para el cálculo del flujo.

En todos los puntos de la superficie existe un valor igual a \(V_{X}\) atravesando el área. Cuanto mayor sea el área, más flechas estarán cruzando el plano, por lo que el flujo eléctrico será mayor. 

El flujo depende de \(V_{X}\)  y del área \(A\); y aumenta conforme cada uno de estos números incrementa. Por está razón, el flujo será igual al producto entre esas dos magnitudes:

\(\Phi=A \cdot V_{X}=A \cdot V \cdot \cos (\theta)\)

Si imaginamos un vector área, perpendicular a la superficie y con módulo igual al área de esa superficie, también podemos calcular el flujo usando un producto escalar: 

\(\Phi=\vec{A} \bullet \vec{V}=A \cdot V \cdot \cos (\theta)\)

Haciendo eso, podemos encontrar el mismo número de que encontramos usando el razonamiento anterior ;).

Flujo eléctrico

En preguntas de electricidad, quien hará el papel del vector \(\vec{V}\) será el vector campo eléctrico \(\vec{E}\). Solo que, generalmente, el campo eléctrico no es el mismo en todo los puntos del plano de la figura.  

Por eso, es difícil calcular el flujo total sin antes saber como calcular un componente pequeño, infinitesimal, de flujo.

En ese caso, debemos tomar un superficie muy pequeña, con un área infinitesimal \(d A\) y calcular el flujo que la atraviesa: 

\(d \Phi_{E}=\overrightarrow{d A} \cdot \vec{E}\)

Ahora, solo tenemos que integrar ese flujo eléctrico \(\left(d \Phi_{E}\right)\) a lo largo de toda la superficie. Con eso, podemos hallar el flujo total.

\(\oint_{G} \mathrm{d} \Phi_{E}=\oint_{G} \overrightarrow{d A} \cdot \vec{E}\)

Y así es como calcularemos el flujo en la ecuación de la Ley de Gauss. La diferencia es que, ahora, la superficie que usaremos para la integración es la superficie gaussiana, presta atención:

\(\oint_{G} \mathrm{d} \Phi_{E}=\oint_{G} \overrightarrow{d A} \cdot \vec{E}\)

Donde podemos escribir el vector infinitesimal de área \(\overrightarrow{d A}\) en función de un vector unitario \(\widehat{n}\), perpendicular al pedacito infinitesimal de la superficie de área \(d A\).

\(\overrightarrow{d A}=\widehat{n} . d A\)

De esa forma, podemos escribir que el flujo eléctrico es dado por:

\(\Phi(\vec{E})=\oint \widehat{n} \cdot \vec{E} \cdot d A\)

Así, podemos pensar que:

Un campo eléctrico paralelo a la superficie gaussiana no genera flujo (en este caso, el ángulo entre el vector normal a la superficie y el campo eléctrico es de \(90\) grados y el coseno es cero)

El flujo generado por el campo es mayor cuanto más cercano a \(0^{\circ}\) sea el ángulo entre el vector normal y el campo.

La Ley de Gauss solamente es válida para superficies cerradas y tiene la siguiente forma matemáticamente hablando:

\(\Phi_{e}(\vec{E})=\oint_{G} \widehat{n} . \vec{E} . d A=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0}}\)

Donde \(Q_{i n t}\) es la sumatoria de todas las cargas en la superficie gaussiana:

\(Q_{i n t}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\ldots\)

La superficie gaussiana debe ser cerrada, pero nada impide que cualquier pregunta pida el flujo en una determinada superficie abierta,okay?

Con eso, ya estamos preparados para cualquier pregunta sobre flujo eléctrico :)

Eso es todo!, #VayamosALosEjercicios amigos!