Potencial Eléctrico y Trabajo
Introducción
Cuando hablamos de temas como energía potencial y trabajo, abordaremos tres situaciones posibles:
1 - Cuestiones de cargas dispersas en el espacio.
2 - Cuestiones de dipolo eléctrico.
3 - Cuestiones de densidad energética.
¿Que tal si echamos un vistazo a cada una de ellas?
Cargas dispersas en el espacio
Hemos visto algunas situaciones en las que las cargas positivas y negativas están paradas y dispersas en el espacio. Como podemos observar en la siguiente figura, en tres situaciones diferentes:
La verdad es que, para que se queden quietas, esas cargas tienen que esforzarse. Eso es porque, sobre cada una de ellas, hay una fuerza ejercida por la otra carga.
Así que en la primera situación, por ejemplo, en la que tenemos dos cargas positivas, tenemos que estar sosteniendo estas cargas para que no se muevan.
Sucede que ese esfuerzo que uno hace representa una energía que uno gasta. El asunto aquí es entender cómo calcular esa energía
La situación más simple es la de la siguiente figura: tenemos sólo dos cargas: \(Q\) y \(q\) separadas por una distancia \(r\).
En esa situación, la energía es calculada por:
\(U=K \cdot \frac{Q \cdot q}{r}\)
Muy parecido a la Ley de Coulomb, pero el denominador está elevado a \(1\). Solo que las preguntas de ese tema dan una complicación mayor, y generalmente mezclan más de dos cargas en el espacio.
A esta altura, es muy importante darse cuenta de que las energías se forman sobre cada par de cargas.
Es decir: es la fuerza mutua entre cada par de cargas la que tiene que ser usada para calcular esa energía. Por lo tanto, en este caso, la energía potencial del sistema será dada por:
\(U=K \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r_{12}}+K \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{3}}{r_{13}}+K \cdot \frac{q_{2} \cdot q_{3}}{r_{23}}\)
Y así sucesivamente, si tenemos cuatro cargas, tenemos que reunir todos los pares posibles, un total de 6 pares \([(1 \leftrightarrow 2),(1 \leftrightarrow 3),(1 \leftrightarrow 4),(2 \leftrightarrow 3),(2 \leftrightarrow 4),(3 \leftrightarrow 4)]\).
Trabajo y Energía Potencial
Algunas preguntas relacionadas a cargas dispersas en el espacio pueden requerir que entiendas sobre el concepto de trabajo. Es esto:
\(W=\Delta E_{C}=-\Delta U\)
Para entender esa ecuación de manera correcta puedes seguir esta línea de pensamiento:
-
Si realizas trabajo positivo en una carga, gana velocidad.
-
Si gana velocidad, la energía cinética aumenta: \(W=+\Delta E_{C}\);
-
Como la energía del sistema es constante, si la energía cinética aumenta, la energía potencial disminuye: \(E_{C}+U=\) constante \(\rightarrow \Delta E_{C}=W=-\Delta U\).
Ejemplo: Dada la configuración de las cargas que se indican a continuación, calcule el trabajo de la fuerza eléctrica sobre la carga \(q_{1}=1 \mu C\) que se movió.
Okay, todo bien. Simplemente tenemos que calcular la variación de la energía potencial y cambiar el signo. Antes teníamos:
\(U_{a}=k \frac{\left(1 \times 10^{-6}\right)\left(-3 \times 10^{-6}\right)}{5}\)
Y después? Lo mismo, pues las cargas son iguales y la distancia también:
\(U_{d}=k \frac{\left(1 \times 10^{-6}\right)\left(-3 \times 10^{-6}\right)}{5}\)
Por tanto, la variación de energía es:
\(\Delta U=0\)
Y también, podemos decir que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica en la carga que se movió fue cero:
\(W=0\)
Dipolo Eléctrico Una Vez Más
El dipolo eléctrico es una especie de hisopo con cargas opuestas en los extremos:
Dentro de las fórmulas de dipolo eléctrico, existe una en especial que está directamente relacionada a este tópico, la energía potencial almacenada en el dipolo, viene dada por:
\(U=-\vec{p} \bullet \vec{E}\)
Donde \(\vec{p}\) representa el momento dipolar eléctrico, dado por:
\(\vec{p}=q \vec{d}\)
Cuando se coloca un dipolo en una región del campo eléctrico externo uniforme \(\vec{E}\), este tiende a girar. Debido a esta tendencia, cuando se coloca un dipolo en cierta posición y se mantiene fijo, se almacena energía potencial en esta configuración.
Al soltar el dipolo no tenderá a girar solo si está en equilibrio, lo que sucede si el momento dipolar eléctrico está alineado con el campo eléctrico externo… y es justamente eso lo que veremos a continuación.
En el dipolo de la izquierda, el ángulo entre el campo eléctrico \(\vec{E}\) y el vector \(\vec{d}\) es de \(0^{\circ}\), y en el dipolo de la derecha, el ángulo es de \(180^{\circ}\). Mi pregunta es: ¿ambos dipolos están en equilibrio?
Si! Ambos lo están, ya que el campo en donde se encuentran no consigue hacerlos girar, esto ocurre porque el torque sobre el dipolo es igual a cero en las dos situaciones.
\(\vec{\tau}=\vec{p} \times \vec{E} \rightarrow|\vec{\tau}|=p E \operatorname{sen} \theta\)
\(\operatorname{sen} 0^{\circ}=\operatorname{sen} 180^{\circ}=0 \rightarrow|\vec{\tau}|=0\)
La cuestión es que en una de las situaciones tenemos un equilibrio estable, mientras que en la otra tenemos un equilibrio inestable.
¿Cuál de ellos es cuál?
Tranquilo, te haré todo más fácil😉.
-
Equilibrio estable:
\(\theta=0^{\circ} \rightarrow U=-p E\)
En ese caso, la energía potencial es mínima.
-
Equilibrio inestable.
\(\theta=180^{\circ} \rightarrow U=p E\)
En ese caso, la energía potencial es máxima.
-
Densidad de energía
La densidad de energía es una magnitud que tiene la siguiente fórmula:
\(u=\frac{\epsilon_{0}|E|^{2}}{2}\)
Pero, ¿qué significa la densidad de energía?
La densidad de energía es la cantidad infinitesimal de energía sobre una unidad infinitesimal de volumen de espacio.
Es decir, podemos escribir la densidad de la siguiente forma:
\(u=\frac{d U}{d V}\)
Donde \(d U\) se refiere a la cantidad infinitesimal de energía en el espacio. Cuando te pidan hallar la energía en cierta región, basta con integrar en esa región!. Solo ten cuidado con los límites de integración y las coordenadas que vayas a utilizar. Por ejemplo:
Dado el campo eléctrico de una esfera conductor cargada de radio \(R\):
\(\vec{E}=\frac{k Q}{r^{2}} \hat{r}\)
Encuentra la energía almacenada por esa carga en todo el espacio.
Bueno, vamos a integrar.
\(\frac{d U}{d V}=\frac{\epsilon_{0}|E|^{2}}{2} \rightarrow d U=\frac{\epsilon_{0}}{2}|E|^{2} d V\)
\(U=\frac{\epsilon_{0}}{2} \int_{V}|E|^{2} d V\)
Como el campo es dado en coordenada esféricas, trabajaremos con ese sistema de coordenadas, por tanto nuestro diferencial de volumen viene siendo:
\(V=\frac{4}{3} \pi r^{3} \rightarrow d V=4 \pi r^{2} d r\)
El módulo del campo, que es lo que entra en la fórmula:
\(|E|=\frac{k Q}{r^{2}} \rightarrow|E|^{2}=\frac{k^{2} Q^{2}}{r^{4}}\)
Sustituyendo, podemos integrar. Como la esfera es conductora, no posee campo en su interior, en consecuencia:
\(U=\frac{\epsilon_{0}}{2}\left(\int_{0}^{R} 0 \times\left(4 \pi r^{2} d r\right)+\int_{R}^{\infty} \frac{k^{2} Q^{2}}{r^{4}}\left(4 \pi r^{2} d r\right)\right)\)
\(U=\frac{\epsilon_{0}}{2} \int_{R}^{\infty} \frac{k^{2} Q^{2}}{r^{4}}\left(4 \pi r^{2} d r\right)\)
Ahora lo complicado es resolver… Ordenando:
\(U=2 \pi k^{2} Q^{2} \epsilon_{0} \int_{R}^{\infty} \frac{d r}{r^{2}}\)
\(U=\frac{2 \pi k^{2} Q^{2} \epsilon_{0}}{R}\)
Esas operaciones están de tortura, verdad? Pero afortunadamente son sólo operaciones matemáticas, no necesitas pensar mucho. En caso de que estés respondiendo una pregunta de opción múltiple más te vale prestar el doble de atención.
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